Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
g(x)=(2+3 x)^5(5-2 x)^7

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função g(x) = (2 + 3x)^5 (5 - 2x)^7 . Aqui estamos trabalhando com o cálculo de derivadas, especificamente aplicando a regra do produto. Para isso, vamos precisar conhecer a regra que diz como derivar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
  • u(x) = (2 + 3x)^5
  • v(x) = (5 - 2x)^7

Passo 3

Segundo a regra do produto, a derivada de g(x) = u(x) cdot v(x) é:
g'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de u(x) e v(x) separadamente.

Passo 4

Vamos começar calculando u'(x) . Usamos a regra da cadeia para derivar u(x) = (2 + 3x)^5 :
u'(x) = 5 cdot (2 + 3x)^4 cdot ddx(2 + 3x) = 5 cdot (2 + 3x)^4 cdot 3 = 15 cdot (2 + 3x)^4

Passo 5

Agora, calculamos v'(x) também usando a regra da cadeia para v(x) = (5 - 2x)^7 :
v'(x) = 7 cdot (5 - 2x)^6 cdot ddx(5 - 2x) = 7 cdot (5 - 2x)^6 cdot (-2) = -14 cdot (5 - 2x)^6

Passo 6

Com as derivadas de u(x) e v(x) calculadas, aplicamos a regra do produto:
g'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) = 15 cdot (2 + 3x)^4 cdot (5 - 2x)^7 + (2 + 3x)^5 cdot (-14) cdot (5 - 2x)^6

Passo 7

Podemos fatorar termos comuns para simplificar a expressão:
g'(x) = (2 + 3x)^4 (5 - 2x)^6 [ 15 cdot (5 - 2x) - 14 cdot (2 + 3x) ]

Passo 8

Simplificando dentro dos colchetes:
15 cdot (5 - 2x) - 14 cdot (2 + 3x) = 75 - 30x - 28 - 42x = 47 - 72x

Passo 9

Substituindo de volta na expressão:
g'(x) = (2 + 3x)^4 (5 - 2x)^6 (47 - 72x)

Resposta

A derivada da função é:
g'(x) = (2 + 3x)^4 (5 - 2x)^6 (47 - 72x)

Exercícios relacionados