Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
f(x)=(1+x^31-x^3)^13

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo para encontrar a derivada da função f(x) = (1 + x^31 - x^3)^13 . Vamos usar a regra da cadeia e a regra do quociente para resolver isso. Basicamente, precisamos entender como derivar funções compostas e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função externa e a interna. Aqui, a função externa é u^13 , onde u = 1 + x^31 - x^3 . Vamos usar a regra da cadeia, que diz que a derivada de u^n é n cdot u^n-1 cdot u' .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = 13 cdot (1 + x^31 - x^3)^12 cdot ddx(1 + x^31 - x^3)
Agora, precisamos encontrar a derivada da fração 1 + x^31 - x^3 .

Passo 4

Para derivar 1 + x^31 - x^3 , usamos a regra do quociente: se h(x) = p(x)q(x) , então h'(x) = p'(x)q(x) - p(x)q'(x)[q(x)]^2 .

Passo 5

Identificando p(x) = 1 + x^3 e q(x) = 1 - x^3 :
p'(x) = 3x^2
q'(x) = -3x^2
Aplicando a regra do quociente:
ddx(1 + x^31 - x^3) = 3x^2(1 - x^3) - (1 + x^3)(-3x^2)(1 - x^3)^2

Passo 6

Simplificando o numerador:
3x^2(1 - x^3) + 3x^2(1 + x^3) = 3x^2 - 3x^5 + 3x^2 + 3x^5 = 6x^2
Então, a derivada da fração fica:
6x^2(1 - x^3)^2

Passo 7

Voltando à derivada original:
f'(x) = 13 cdot (1 + x^31 - x^3)^12 cdot 6x^2(1 - x^3)^2
Podemos simplificar multiplicando os coeficientes e ajustando as potências.

Passo 8

Simplificando:
f'(x) = 78x^2 cdot (1 + x^31 - x^3)^12 cdot 1(1 - x^3)^2 = 78x^2 cdot (1 + x^31 - x^3)^12 cdot (1 - x^3)^-2
Podemos combinar as potências de 1 - x^3 :
(1 + x^31 - x^3)^12 cdot (1 - x^3)^-2 = (1 + x^3)^12 cdot (1 - x^3)^-14

Passo 9

Portanto, a derivada final fica:
f'(x) = 78x^2 cdot (1 + x^3)^12(1 - x^3)^14

Resposta

A derivada de f(x) é:
f'(x) = 78x^2(1 + x^3)^12(1 - x^3)^14

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