Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de cálculo para encontrar a derivada da função
. Vamos usar a regra da cadeia e a regra do quociente para resolver isso. Basicamente, precisamos entender como derivar funções compostas e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função externa e a interna. Aqui, a função externa é
, onde
. Vamos usar a regra da cadeia, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia:
Agora, precisamos encontrar a derivada da fração
.
Passo 4
Para derivar
, usamos a regra do quociente: se
, então
.
Passo 5
Identificando
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 6
Simplificando o numerador:
Então, a derivada da fração fica:
Passo 7
Voltando à derivada original:
Podemos simplificar multiplicando os coeficientes e ajustando as potências.
Passo 8
Simplificando:
Podemos combinar as potências de
:
Passo 9
Portanto, a derivada final fica:
Resposta
A derivada de
é: