Determine o volume do sólido que está no primeiro octante e que está delimitado pelo plano z=1 e pela casca da esfera
x^2+y^2+z^2=4

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido em que
  • estamos no primeiro octante ( x>=0, y>=0, z>=0),
  • a parte inferior é limitada pelo plano z=1,
  • a parte superior é limitada pela esfera de equação x^2+y^2+z^2=4.
    O que vamos usar é o método de “fatias” horizontais: para cada z em [1,2] calculamos a área do corte em z e depois integramos essa área em z.

Passo 2

Para um z fixo com 1<= z<=2, o corte é
(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x^2+y^2<= 4-z^2,
que é um quarto de disco de raio raiz4-z^2. Logo a área desse corte vale
A(z)=14,pil(4-z^2r)

Passo 3

O volume do sólido é a integral dessa área de z=1 até z=2:
V=integral1^2A(z),dz =integral1^2pi4l(4-z^2r),dz

Passo 4

Primeiro calculamos a integral interna:
integral1^2(4-z^2),dz =l[,4z-tfracz^33r]1^2 =l(8-tfrac83r)-l(4-tfrac13r) =tfrac53
Portanto
V=pi4times53 =5pi12

Resposta

O volume do sólido é 5pi12.

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