Determine o volume do sólido que está no primeiro octante e que está delimitado pelo plano
e pela casca da esfera
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido em que
- estamos no primeiro octante (
, , ), - a parte inferior é limitada pelo plano
, - a parte superior é limitada pela esfera de equação
.
O que vamos usar é o método de “fatias” horizontais: para cadaem calculamos a área do corte em e depois integramos essa área em .
Passo 2
Para um
fixo com
, o corte é
que é um quarto de disco de raio
. Logo a área desse corte vale
Passo 3
O volume do sólido é a integral dessa área de
até
:
Passo 4
Primeiro calculamos a integral interna:
Portanto
Resposta
O volume do sólido é
.