3.47 Sejam A e B eventos com P(A \cup B)=\frac{7}{8}, \quad P(A \cap B)=\frac{1}{4} e P\left(A^{\circ}\right)=\frac{5}{8}. Encontre P(A), P(B) e P\left(A \cap B^{\circ}\right).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • P(A \cup B)=\frac{7}{8}.
  • P(A \cap B)=\frac{1}{4}.
  • P\left(A^{\circ}\right)=\frac{5}{8}.
O que pede encontrar:
  • P(A).
  • P(B).
  • P\bigl(A \cap B^{\circ}\bigr).

Passo 2

Primeiro vamos achar P(A) a partir de P\left(A^{\circ}\right). Aqui A^{\circ} é o complemento de A, ou seja o conjunto de todos os resultados que não estão em A. Para qualquer evento A vale a relação
P(A)+P\left(A^{\circ}\right)=1,
porque juntamente A e A^{\circ} cobrem todo o espaço amostral e são disjuntos. Substituindo o valor dado:
P(A)=1-P\left(A^{\circ}\right)=1-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}.

Passo 3

Agora usamos a fórmula da união de dois eventos. Para quaisquer eventos A e B vale
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Essa fórmula sai do fato de que ao somar P(A) e P(B) a interseção A\cap B fica contada duas vezes, então subtrai-se uma vez P(A\cap B).
Queremos P(B), então isolamos P(B):
P(B)=P(A\cup B)-P(A)+P(A\cap B).
Agora substituímos os valores (todos em frações):
P(B)=\frac{7}{8}-\frac{3}{8}+\frac{1}{4}.
Calcule passo a passo: \frac{7}{8}-\frac{3}{8}=\frac{4}{8}. E \frac{1}{4}=\frac{2}{8}. Logo
P(B)=\frac{4}{8}+\frac{2}{8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.

Passo 4

Para P\bigl(A\cap B^{\circ}\bigr) usamos a decomposição de A em duas partes disjuntas:
A=(A\cap B)\cup\bigl(A\cap B^{\circ}\bigr),
onde as duas parcelas à direita são disjuntas. Portanto,
P(A)=P(A\cap B)+P\bigl(A\cap B^{\circ}\bigr).
Isolando P\bigl(A\cap B^{\circ}\bigr) obtemos
P\bigl(A\cap B^{\circ}\bigr)=P(A)-P(A\cap B).
Substituindo os valores já conhecidos:
P\bigl(A\cap B^{\circ}\bigr)=\frac{3}{8}-\frac{1}{4}=\frac{3}{8}-\frac{2}{8}=\frac{1}{8}.

Passo 5

Cheque rápido de coerência (sanity check): usando os valores obtidos,
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{3}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{3}{8}+\frac{2}{4}=\frac{3}{8}+\frac{4}{8}=\frac{7}{8},
coincide com o dado original, então está consistente. Todos os probabilidades estão em [0,1], como deve ser.

Resposta

P(A)=\frac{3}{8}
P(B)=\frac{3}{4}
P\bigl(A\cap B^{\circ}\bigr)=\frac{1}{8}

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