3.47 Sejam
e
eventos com
e
. Encontre
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
. -
.
O que pede encontrar:
-
. -
. -
.
Passo 2
Primeiro vamos achar
a partir de
. Aqui
é o complemento de
, ou seja o conjunto de todos os resultados que não estão em
. Para qualquer evento
vale a relação
porque juntamente
e
cobrem todo o espaço amostral e são disjuntos. Substituindo o valor dado:
Passo 3
Agora usamos a fórmula da união de dois eventos. Para quaisquer eventos
e
vale
Essa fórmula sai do fato de que ao somar
e
a interseção
fica contada duas vezes, então subtrai-se uma vez
.
Queremos
, então isolamos
:
Agora substituímos os valores (todos em frações):
Calcule passo a passo:
. E
. Logo
Passo 4
Para
usamos a decomposição de
em duas partes disjuntas:
onde as duas parcelas à direita são disjuntas. Portanto,
Isolando
obtemos
Substituindo os valores já conhecidos:
Passo 5
Cheque rápido de coerência (sanity check): usando os valores obtidos,
coincide com o dado original, então está consistente. Todos os probabilidades estão em
, como deve ser.