3.48 Sejam A e B eventos com P(A)=\frac{1}{2}, P(A \cup B)=\frac{3}{4} e P\left(B^{\circ}\right)=\frac{5}{8}.
Encontre P(A \cap B), P\left(A^{c} \cap B^{c}\right), P\left(A^{c} \cup B^{c}\right) e P\left(B \cap A^{c}\right).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que foi informado e o que pedem):
  • Dados:
    • P(A)=\dfrac{1}{2}.
    • P(A\cup B)=\dfrac{3}{4}.
    • P\bigl(B^{\circ}\bigr)=\dfrac{5}{8}. (Aqui vou interpretar B^{\circ} como o complemento de B, ou seja B^c; isso é compatível com a notação usada nas demais perguntas.)
  • Pedidos:
    1. Encontrar P(A\cap B).
    2. Encontrar P\bigl(A^{c}\cap B^{c}\bigr).
    3. Encontrar P\bigl(A^{c}\cup B^{c}\bigr).
    4. Encontrar P\bigl(B\cap A^{c}\bigr).

Passo 2

Primeiro vou obter P(B) a partir de P(B^c). A relação entre probabilidade de um evento e de seu complemento é
P(B)+P(B^c)=1.
Como o enunciado deu P(B^c)=\dfrac{5}{8}, temos
P(B)=1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8}.

Passo 3

Agora uso a fórmula da união para achar P(A\cap B). A fórmula é
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Isolando P(A\cap B) obtém-se
P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B).
Substituindo os valores conhecidos:
P(A\cap B)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{8}-\dfrac{3}{4}.
Colocando tudo em oitavos: \dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{8} e \dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{8}, então
P(A\cap B)=\dfrac{4}{8}+\dfrac{3}{8}-\dfrac{6}{8}=\dfrac{1}{8}.

Passo 4

Para P\bigl(A^{c}\cap B^{c}\bigr) uso a lei de De Morgan que diz (A\cup B)^c = A^c\cap B^c. Portanto
P\bigl(A^{c}\cap B^{c}\bigr)=P\bigl((A\cup B)^c\bigr)=1-P(A\cup B).
Como P(A\cup B)=\dfrac{3}{4},
P\bigl(A^{c}\cap B^{c}\bigr)=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}.

Passo 5

Para P\bigl(A^{c}\cup B^{c}\bigr) uso outra lei de De Morgan: (A\cap B)^c = A^c\cup B^c. Assim
P\bigl(A^{c}\cup B^{c}\bigr)=P\bigl((A\cap B)^c\bigr)=1-P(A\cap B).
Como já calculamos P(A\cap B)=\dfrac{1}{8},
P\bigl(A^{c}\cup B^{c}\bigr)=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}.

Passo 6

Finalmente, para P\bigl(B\cap A^{c}\bigr) observo que o evento B se decompõe em dois eventos disjuntos: B=(B\cap A)\cup(B\cap A^c). Portanto
P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap A^c).
Logo
P(B\cap A^c)=P(B)-P(B\cap A).
Substituindo P(B)=\dfrac{3}{8} (do Passo 2) e P(B\cap A)=P(A\cap B)=\dfrac{1}{8} (do Passo 3):
P(B\cap A^c)=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}.

Resposta

P(A\cap B)=\dfrac{1}{8}
P\bigl(A^{c}\cap B^{c}\bigr)=\dfrac{1}{4}
P\bigl(A^{c}\cup B^{c}\bigr)=\dfrac{7}{8}
P\bigl(B\cap A^{c}\bigr)=\dfrac{1}{4}

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