2.46 Seja , em que o 1 é a -ésima entrada. Mostre que
(a) , a -ésima linha de .
(b) , a -ésima coluna de .
(c) Se para cada , então .
(d) para cada , então
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra mostrar quatro coisas usando o vetor canônico
onde o 1 está na posição .
Conteúdo: multiplicação de matrizes e vetores canônicos.
O que precisamos saber:
Regra de multiplicação matriz–vetor e vetor–matriz: e .
Dois matrizes são iguais se todas as entradas correspondentes são iguais.
Passo 2
(a) Mostrar que é a -ésima linha de .
Pela regra, a -ésima entrada de é
Como para todo e , sobra só o termo :
Logo
que é exatamente a -ésima linha de , denotada por .
Passo 3
(b) Mostrar que é a -ésima coluna de .
Agora é um vetor coluna, cuja -ésima entrada é
Como para e vale 1 só em , fica
Isso mostra
que é justamente a coluna j de B, denotada por B^j.
Passo 4
(c) Se eiA = eiB para todo i, então as linhas i-ésimas de A e B coincidem:
Ai = eiA = eiB = Biforall i
Como todas as linhas de A e B são iguais, todas as entradas correspondentes são iguais. Logo A=B.
Passo 5
(d) Se Aej^T = Bej^T para todo j, então as colunas j-ésimas de A e B coincidem:
A^j = Aej^T = Bej^T = B^jforall j
Isto faz com que todas as colunas sejam iguais, e portanto A=B.
Resposta
(a) eiA = Ai.
(b) Bej^T = B^j.
(c) Se eiA = eiB para todo i, então A=B.
(d) Se Aej^T = Bej^T para todo j, então A=B.