2.46 Seja ei=[0, ldots, 0,1,0, ldots, 0], em que o 1 é a i-ésima entrada. Mostre que
(a) ei A=Ai, a i-ésima linha de A.
(b) B ej^T=B^j, a j-ésima coluna de B.
(c) Se ei A=ei B para cada i, então A=B.
(d) Se A ej^T=B ej^T para cada j, então A=B

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra mostrar quatro coisas usando o vetor canônico
ei = [0,dots,0,1,0,dots,0],,
onde o 1 está na posição i.
Conteúdo: multiplicação de matrizes e vetores canônicos.
O que precisamos saber:
  • Regra de multiplicação matriz–vetor e vetor–matriz:
    (eiA)j=sumk=1^n (ei)k,Ak,j e
    (Bej^T)i=sumk=1^m Bi,k,(ej^T)k.
  • Dois matrizes são iguais se todas as entradas correspondentes são iguais.

Passo 2

(a) Mostrar que eiA é a i-ésima linha de A.
Pela regra, a j-ésima entrada de eiA é
(eiA)j ;=;sumk=1^n (ei)k,Ak,j
Como (ei)k=0 para todo kneq i e (ei)i=1, sobra só o termo k=i:
(eiA)j = 1cdot Ai,j = Ai,j
Logo
eiA = [,Ai,1,,Ai,2,dots,Ai,m,],
que é exatamente a i-ésima linha de A, denotada por Ai.

Passo 3

(b) Mostrar que Bej^T é a j-ésima coluna de B.
Agora Bej^T é um vetor coluna, cuja i-ésima entrada é
(Bej^T)i ;=;sumk=1^m Bi,k,(ej^T)k
Como (ej^T)k=0 para kneq j e vale 1 só em k=j, fica
(Bej^T)i = Bi,j
Isso mostra
Bej^T = B1,j B2,j vdots Bn,j ,
que é justamente a coluna j de B, denotada por B^j.

Passo 4

(c) Se eiA = eiB para todo i, então as linhas i-ésimas de A e B coincidem:
Ai = eiA = eiB = Biforall i
Como todas as linhas de A e B são iguais, todas as entradas correspondentes são iguais. Logo A=B.

Passo 5

(d) Se Aej^T = Bej^T para todo j, então as colunas j-ésimas de A e B coincidem:
A^j = Aej^T = Bej^T = B^jforall j
Isto faz com que todas as colunas sejam iguais, e portanto A=B.

Resposta

(a) eiA = Ai.
(b) Bej^T = B^j.
(c) Se eiA = eiB para todo i, então A=B.
(d) Se Aej^T = Bej^T para todo j, então A=B.

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