Determine o valor de c em função de \mathbf{a} \mathbf{e} \mathbf{b}, de modo que o sistema abaixo tenha solução:
c x+y+2 z=a 2 x+3 y-z=b 4 x+5 y+3 z=c

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x + y + 2z = a, 2x + 3y - z = b, 4x + 5y + 3z = c
O conteúdo aqui é analisar consistência de sistemas lineares via determinante da matriz de coeficientes e combinação linear de equações.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
1 & 1 & 2 2 & 3 & -1 4 & 5 & 3 =1cdot3 & -15 & 3 -1cdot2 & -14 & 3 +2cdot2 & 34 & 5
Calculando cada menor:
3 & -15 & 3=14, 2 & -14 & 3=10, 2 & 34 & 5=-2
Logo
det=1cdot14 -1cdot10 +2cdot(-2)=14-10-4=0
Como det=0, não há solução única; para existir solução, a terceira equação deve ser combinação linear das duas primeiras.

Passo 3

Suponha que
Igualando coeficientes de
Das duas primeiras equações vem , que satisfazem também a terceira.

Passo 4

Como a 3ª equação é 2 times( 1ª) + 1 times( 2ª), o termo independente deve obedecer
c = 2,a + 1,b

Resposta

c = 2a + b

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