Determine k in R, tal que o sistema de equações: x+k y=2 e k x+y=2 seja:
a) Possível e determinado;
b) Possível e indeterminado;
c) Impossível.

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema linear
x + k,y = 2, k,x + y = 2
em termos de existência e unicidade de solução.
Conteúdo: sistemas lineares 2times 2. Vamos usar a condição sobre o determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
A = 1 & k k & 1 , det(A) = 1cdot1 - kcdot k = 1 - k^2
Pela teoria, se det(A)neq0 o sistema tem solução única; se det(A)=0 pode ser indeterminado ou impossível.

Passo 3

Analisamos o caso det(A)neq0.
1 - k^2 neq 0 Long<=ftrightarrow k^2 neq 1 Long<=ftrightarrow k neq pm1
Logo para kneqpm1 o sistema é possível e determinado (tem solução única).

Passo 4

Agora
que são a mesma equação, logo infinitas soluções (\emph{possível e indeterminado}).
o sistema vira
que é equivalente a
ou seja, duas equações contraditórias. Portanto é impossível (sem solução).

Resposta

a) kneqpm1
b) k=1
c) k=-1

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