Se possível, resolva os sistemas lineares abaixo:
\left{ c3 x+y+4 z=-1 5 x-2 y+3 z=2 4 x-3 y+z=3\right.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O enunciado nos dá três equações com três incógnitas: x , y e z . Para resolver isso, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores de cada variável.
As equações são:
3x + y + 4z = -1 5x - 2y + 3z = 2 4x - 3y + z = 3

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada, que é uma forma prática de visualizar as equações. A matriz aumentada fica assim:
3 & 1 & 4 & | & -1 5 & -2 & 3 & | & 2 4 & -3 & 1 & | & 3

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde conseguimos eliminar uma variável de cada vez. Vamos começar eliminando o x das segunda e terceira equações.
Para isso, podemos multiplicar a primeira equação por uma constante que facilite a eliminação. Vamos usar o método de substituição:
  • Equação 1: 3x + y + 4z = -1
Vamos deixar x isolado:
x = -1 - y - 4z3

Passo 4

Agora, substituímos x na segunda e terceira equações usando a expressão que encontramos:
  • Equação 2: 5x - 2y + 3z = 2
Substituindo x :
5(-1 - y - 4z3) - 2y + 3z = 2
Multiplicando tudo por 3 para eliminar denominadores:
5(-1 - y - 4z) - 6y + 9z = 6
Simplificando:
-5 - 5y - 20z - 6y + 9z = 6
Juntando termos semelhantes:
-11y - 11z = 11
Dividindo por -11:
y + z = -1
  • Equação 3: 4x - 3y + z = 3
Substituindo x :
4(-1 - y - 4z3) - 3y + z = 3
Multiplicando tudo por 3:
4(-1 - y - 4z) - 9y + 3z = 9
Simplificando:
-4 - 4y - 16z - 9y + 3z = 9
Juntando termos semelhantes:
-13y - 13z = 13
Dividindo por -13:
y + z = -1

Passo 5

Interessante! As duas últimas equações resultaram na mesma relação: y + z = -1 . Isso significa que temos liberdade para escolher um valor para uma das variáveis e encontrar a outra. Vamos resolver para y :
y = -1 - z

Passo 6

Agora, vamos usar essa relação para encontrar z . Voltando à equação y + z = -1 , e sabendo que y = -1 - z , substituímos na Equação 1 original para encontrar x :
x = -1 - y - 4z3 = -1 - (-1 - z) - 4z3
Simplificando:
x = -1 + 1 + z - 4z3 = -3z3 = -z

Passo 7

Agora, temos as seguintes relações:
x = -z y = -1 - z
Podemos escolher um valor para z para encontrar os valores de x e y . Entretanto, como o sistema resultou em dependência entre as equações, isso indica que há infinitas soluções dependendo do valor de z .

Resposta

As soluções do sistema são:
x = -z y = -1 - z z = z (qualquer número real) ú
Ou seja, para qualquer valor escolhido para z , x e y são determinados por essas relações.

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