Se possível, resolva os sistemas lineares abaixo:
\left{\right.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O enunciado nos dá três equações com três incógnitas: , e . Para resolver isso, vamos usar o método da eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar os valores de cada variável.
As equações são:
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada, que é uma forma prática de visualizar as equações. A matriz aumentada fica assim:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde conseguimos eliminar uma variável de cada vez. Vamos começar eliminando o x das segunda e terceira equações.
Para isso, podemos multiplicar a primeira equação por uma constante que facilite a eliminação. Vamos usar o método de substituição:
Equação 1: 3x + y + 4z = -1
Vamos deixar x isolado:
x = -1 - y - 4z3
Passo 4
Agora, substituímos x na segunda e terceira equações usando a expressão que encontramos:
Equação 2: 5x - 2y + 3z = 2
Substituindo x :
5(-1 - y - 4z3) - 2y + 3z = 2
Multiplicando tudo por 3 para eliminar denominadores:
5(-1 - y - 4z) - 6y + 9z = 6
Simplificando:
-5 - 5y - 20z - 6y + 9z = 6
Juntando termos semelhantes:
-11y - 11z = 11
Dividindo por -11:
y + z = -1
Equação 3: 4x - 3y + z = 3
Substituindo x :
4(-1 - y - 4z3) - 3y + z = 3
Multiplicando tudo por 3:
4(-1 - y - 4z) - 9y + 3z = 9
Simplificando:
-4 - 4y - 16z - 9y + 3z = 9
Juntando termos semelhantes:
-13y - 13z = 13
Dividindo por -13:
y + z = -1
Passo 5
Interessante! As duas últimas equações resultaram na mesma relação: y + z = -1 . Isso significa que temos liberdade para escolher um valor para uma das variáveis e encontrar a outra. Vamos resolver para y :
y = -1 - z
Passo 6
Agora, vamos usar essa relação para encontrar z . Voltando à equação y + z = -1 , e sabendo que y = -1 - z , substituímos na Equação 1 original para encontrar x :
x = -1 - y - 4z3 = -1 - (-1 - z) - 4z3
Simplificando:
x = -1 + 1 + z - 4z3 = -3z3 = -z
Passo 7
Agora, temos as seguintes relações:
x = -z y = -1 - z
Podemos escolher um valor para z para encontrar os valores de x e y . Entretanto, como o sistema resultou em dependência entre as equações, isso indica que há infinitas soluções dependendo do valor de z .
Resposta
As soluções do sistema são:
x = -z y = -1 - z z = z (qualquer número real) ú
Ou seja, para qualquer valor escolhido para z , x e y são determinados por essas relações.