3.47 Uma corrente elétrica de 700 A passa em um cabo de aço inoxidável com diâmetro de 5 mm e resistência elétrica de 6 \times 10^{-4} \Omega / \mathrm{m} (ou seja, por metro de comprimento do cabo). O cabo en-contra-se em um ambiente que está a uma temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente total associado à convecção e à radiação entre o cabo e o ambiente é de aproximadamente 25 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right).
(a) Se o cabo estiver desencapado, qual será a temperatura na sua superfície?
(b) Se um revestimento muito fino de um isolante elétrico for aplicado sobre o cabo, com uma resistência de contato de 0,02 \mathrm{~m}^{2} \cdot \mathrm{~K} / \mathrm{W}, quais serāo as temperaturas das superfícies do isolamento e do cabo?
(c) Há aIguma preocupação em relação à capacidade do isolamento em suportar temperaturas elevadas. Que espessura desse isolante ( k=0,5 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) ) produzirá o menor valor para a temperatura máxima no isolante? Qual será o valor da temperatura máxima quando esta espessura de isolante for utilizada?

Passo 1

O enunciado trata de um cabo cilíndrico de aço inoxidável percorrido por corrente I=700,A. Sabemos que a resistência elétrica é R'=6\times10^{-4}, \Omega/\mathrm m e que o diâmetro do cabo é d=5,mm. O ambiente está a T_\infty=30^\circ\mathrm C e o coeficiente global de convecção+radiação é h=25,W/ \bigl(\mathrm{m}^2\mathrm K\bigr).
Conteúdo: geração de calor por efeito Joule e escoamento de calor à superfície pelo modelo de resistências térmicas em série (convecção+radição e, quando houver, condução através do isolante).

Passo 2

Parte (a): cabo desencapado
1. Calcular a potência dissipada por metro
q' = I^2 R' = (700)^2\cdot 6\times10^{-4} = 294\\ \mathrm{W/m}.
2. Área de troca térmica por metro de comprimento
A = \pi d = \pi\times 0,005 = 0,015707\\ \mathrm{m^2}.
3. Equilíbrio térmico q'=hA\,(T_s - T_\infty)
T_s = T_\infty + \frac{q'}{h\,A} = 30 + \frac{294}{25\cdot0,015707} \approx 778{,}9^\circ\mathrm C.

Passo 3

Parte (b): revestimento fino com resistência de contato R_{\rm t,c} =0,02,m ^2K/W
1. Transformar em resistência por metro
R_{\rm cont} = \frac{R_{\rm t,c}}{A} = \frac{0,02}{0,015707} \approx 1{,}274\\ \mathrm{K/W}.
2. Manter R_{\rm conv}=1/(hA)=1/(25\cdot0,015707)\approx2{,}547,K/W.
3. Fluxo é q'=294,W/m em série:
– Temperatura na superfície externa do isolante
T_{s,\,\rm ext} = T_\infty + q'\,R_{\rm conv} = 30 + 294\cdot2{,}547 \approx 778{,}9^\circ\mathrm C.
– Temperatura na superfície do cabo (interna)
T_{s,\,\rm int} = T_\infty + q'\,(R_{\rm cont}+R_{\rm conv}) = 30 + 294\,(1{,}274+2{,}547) \approx 1153{,}5^\circ\mathrm C.

Passo 4

Parte (c): revestimento de condutividade k=0,5,W/(m·K) e espessura variável
1. Raio interno r_1=d/2=0,0025,m; raio externo r_2=r_1 + \delta.
2. Resistências por metro de comprimento em série:
R_{\rm cond} = \frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi k}, \quad R_{\rm conv} = \frac{1}{h\,(2\pi r_2)}.
3. Queremos minimizar
R_{\rm tot}(r_2) = R_{\rm cond}(r_2)+R_{\rm conv}(r_2).
Fazendo \mathrm dR_{\rm tot}/\mathrm dr_2=0 obtém-se
r_{2,\mathrm{opt}} = \frac{k}{h} = \frac{0,5}{25} = 0,02\\ \mathrm{m}.
Logo,
\delta_{\rm opt} = r_{2,\mathrm{opt}} - r_1 = 0,02 - 0,0025 = 0,0175\\ \mathrm{m}.
4. Calcular R_{\rm tot,opt}:
R_{\rm cond,opt} = \frac{\ln(0,02/0,0025)}{2\pi\cdot0,5} = \frac{\ln 8}{\pi} \approx 0,662\\ \mathrm{K/W},
R_{\rm conv,opt} = \frac{1}{25\,(2\pi\cdot0,02)} \approx 0,318\\ \mathrm{K/W},
R_{\rm tot,opt} = 0,662 + 0,318 = 0,980\\ \mathrm{K/W}.
Temperatura máxima (na interface do cabo)
T_{s,\,\max} = T_\infty + q'\,R_{\rm tot,opt} = 30 + 294\cdot0,980 \approx 318{,}1^\circ\mathrm C.

Resposta

(a) T_s\approx 779^\circ\mathrm C.
(b) T_{s,\,\rm ext}\approx 779^\circ\mathrm C, T_{s,\,\rm int}\approx 1154^\circ\mathrm C.
(c) Espessura \delta\approx17{,}5,mm, com temperatura máxima \approx318^\circ\mathrm C.

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