2.47 Demonstre os itens (iii) e (iv) do Teorema 2.2: (iii) (A+B) C=A C+B C, (iv) k(A B)=(k A) B=A(k B).

Passo 1

Beleza, o exercício pede para demonstrar duas propriedades do Teorema 2.2 de Álgebra de Matrizes:
(iii) (A+B),C = A,C + B,C
(iv) k,(A,B) = (k,A),B = A,(k,B)
Para isso a gente vai usar as definições de soma de matrizes, produto de matrizes, multiplicação por escalar e a ideia de que matrizes são iguais se todas as entradas são iguais. Também vamos usar a distributividade dos números reais.

Passo 2

Primeiro, relembrando as definições básicas:
  • Se A=(aij) e B=(bij) são matrizes de mesma dimensão, a soma é
    (A+B)ij = aij + bij.
  • Se A é mtimes n e C é ntimes p, o produto A,C é mtimes p com
    (A,C)ij = sumk=1^n aik,ckj.
  • Se k é escalar e A=(aij), então (k,A)ij = k,aij.
    E lembre: vamos comparar matrizes conferindo todos os índices (i,j).

Passo 3

Demonstração de (iii): (A+B),C = A,C + B,C.
Para cada entrada (i,j):
l((A+B),Cr)ij &= sumk=1^n (A+B)ik;Ckj = sumk=1^n l(aik + bikr),Ckj [6pt] &= sumk=1^n aik,Ckj ;+;sumk=1^n bik,Ckj = (A,C)ij + (B,C)ij
Como isso vale para todo i,j, concluímos (A+B),C = A,C + B,C.]

Passo 4

Demonstração de (iv): k,(A,B) = (k,A),B = A,(k,B).
  1. Para (k,(A,B))ij:
l(k,(A,B)r)ij = k,(A,B)ij = k;sumk=1^n aik,bkj = sumk=1^n l(k,aikr),bkj = l((k,A),Br)ij
  1. De modo análogo,
l(A,(k,B)r)ij = sumk=1^n aik,(k,bkj) = sumk=1^n l(k,aikr),bkj = l((k,A),Br)ij
Logo tudo bate: k,(A,B)=(k,A),B=A,(k,B).

Resposta

Demonstramos (iii) (A+B)C = AC + BC e (iv) k(AB)=(kA)B=A(kB).

Exercícios relacionados