2.47 Demonstre os itens (iii) e (iv) do Teorema 2.2: (iii)
, (iv)
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para demonstrar duas propriedades do Teorema 2.2 de Álgebra de Matrizes:
(iii)
(iv)
Para isso a gente vai usar as definições de soma de matrizes, produto de matrizes, multiplicação por escalar e a ideia de que matrizes são iguais se todas as entradas são iguais. Também vamos usar a distributividade dos números reais.
(iii)
(iv)
Para isso a gente vai usar as definições de soma de matrizes, produto de matrizes, multiplicação por escalar e a ideia de que matrizes são iguais se todas as entradas são iguais. Também vamos usar a distributividade dos números reais.
Passo 2
Primeiro, relembrando as definições básicas:
- Se
e são matrizes de mesma dimensão, a soma é
. - Se
é e é , o produto é com
. - Se
é escalar e , então .
E lembre: vamos comparar matrizes conferindo todos os índices.
Passo 3
Demonstração de (iii):
.
Para cada entrada :
Para cada entrada
Como isso vale para todo
, concluímos
.]
Passo 4
Demonstração de (iv):
.
- Para
:
- De modo análogo,
Logo tudo bate:
.
Resposta
Demonstramos (iii)
e (iv)
.