Determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para a hipérbole dada por
determinarmos a sua forma reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas, e ainda esboçar o gráfico.
Conteúdo: secção cónica (hipérbole). Estratégia: completar o quadrado em para obter a forma canônica
Conteúdo: secção cónica (hipérbole). Estratégia: completar o quadrado em
Passo 2
Vamos completar o quadrado em
:
Logo a equação original vira
Dividindo ambos os lados por
, obtemos a forma reduzida
Passo 3
Da forma
reconhecemos aqui
,
,
,
.
Portanto:
Portanto:
- Centro:
. -
, . - Vértices (transverse vertical):
- Para os focos, calculamos
via , logo .
Focos:
- Excentricidade:
Passo 4
As assimptotas de
são as retas que passam pelo centro e têm coeficiente angular
. Logo
Passo 5
Esboço do gráfico:
- Centro em
. - Ramos abertos para cima e para baixo, passando pelos vértices
e . - Asímptotas em torno do centro com inclinações
.
Resposta
Equação reduzida:
Centro:
Vértices: e
Focos:
Excentricidade:
Assíntotas:
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Assíntotas:
Esboço: dois ramos verticais centrados em
, aproximando-se das retas
.