Determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.
25 x^2-4 y^2+40 y=0

Passo 1

O enunciado pede para a hipérbole dada por
25x^2-4y^2+40y=0
determinarmos a sua forma reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas, e ainda esboçar o gráfico.
Conteúdo: secção cónica (hipérbole). Estratégia: completar o quadrado em y para obter a forma canônica

Passo 2

Vamos completar o quadrado em y:
25x^2-4y^2+40y = 25x^2-4l(y^2-10yr) =25x^2-4l[(y-5)^2-25r] =25x^2-4(y-5)^2+100
Logo a equação original vira
25x^2-4(y-5)^2+100=0 ;Longrightarrow; 25x^2-4(y-5)^2=-100 ;Longrightarrow; 4(y-5)^2-25x^2=100
Dividindo ambos os lados por 100, obtemos a forma reduzida
(y-5)^225-x^24=1

Passo 3

Da forma
(y-k)^2a^2-(x-h)^2b^2=1
reconhecemos aqui h=0, k=5, a^2=25, b^2=4.
Portanto:
  • Centro: (h,k)=(0,5).
  • a=raiz25=5, b=raiz4=2.
  • Vértices (transverse vertical):
(0,5pm a)=(0,5pm5)Longrightarrow(0,10) e (0,0)
  • Para os focos, calculamos c via c^2=a^2+b^2=25+4=29, logo c=raiz29.
    Focos:
(0,5pm raiz29)
  • Excentricidade:
e=ca=raiz295

Passo 4

As assimptotas de
(y-5)^225-x^24=1
são as retas que passam pelo centro e têm coeficiente angular pm tfracab=pmtfrac52. Logo
y-5=pm52,x

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • Centro em (0,5).
  • Ramos abertos para cima e para baixo, passando pelos vértices (0,10) e (0,0).
  • Asímptotas em torno do centro com inclinações pm5/2.

Resposta

Equação reduzida:
(y-5)^225-x^24=1
Centro: (0,5)
Vértices: (0,10) e (0,0)
Focos: l(0,5pmraiz29r)
Excentricidade: e=dfracraiz295
Assíntotas:
y-5=pm52,x
Esboço: dois ramos verticais centrados em (0,5), aproximando-se das retas y-5=pm52x.

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