Se possível, resolva os sistemas lineares abaixo:
\left{ c-3 x+3 y+2 z+w=-2 5 x+y+z-2 w=1 2 x+5 y+3 z-w=-1\right.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com quatro variáveis: x, y, z e w. O objetivo aqui é resolver esse sistema, ou seja, encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar o método de eliminação, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
-3x + 3y + 2z + w = -2 (1) 5x + y + z - 2w = 1 (2) 2x + 5y + 3z - w = -1 (3)
Nosso plano é eliminar uma das variáveis de duas equações para reduzir o sistema.

Passo 3

Vamos começar eliminando w. Para isso, vamos manipular as equações de forma que o coeficiente de w seja igual em duas delas.
A equação (1) já tem w, então vamos deixar as outras também com w. A equação (2) tem -2w e a equação (3) tem -w. Vamos multiplicar a equação (3) por 2 para que tenha -2w:
2 times (3) Rightarrow 4x + 10y + 6z - 2w = -2 (4)
Agora, temos:
-3x + 3y + 2z + w = -2 (1) 5x + y + z - 2w = 1 (2) 4x + 10y + 6z - 2w = -2 (4)

Passo 4

Vamos eliminar w usando as equações (2) e (4). Subtraímos a equação (2) da equação (4):
(4) - (2): (4x - 5x) + (10y - y) + (6z - z) + (-2w + 2w) = -2 - 1
Simplificando:
- x + 9y + 5z = -3 (5)
Agora, temos um sistema com três equações:
-3x + 3y + 2z + w = -2 (1) 5x + y + z - 2w = 1 (2) - x + 9y + 5z = -3 (5)

Passo 5

Vamos agora eliminar w novamente, mas dessa vez usando as equações (1) e (2). Para isso, vamos multiplicar a equação (1) por 2 e somar com a equação (2):
2 times (1): -6x + 6y + 4z + 2w = -4
Somando com a equação (2):
(-6x + 5x) + (6y + y) + (4z + z) + (2w - 2w) = -4 + 1
Simplificando:
- x + 7y + 5z = -3 (6)
Agora, temos um sistema com duas equações:
- x + 9y + 5z = -3 (5) - x + 7y + 5z = -3 (6)

Passo 6

Vamos eliminar mais uma variável. Subtraindo a equação (6) da equação (5):
(5) - (6): (-x + x) + (9y - 7y) + (5z - 5z) = -3 - (-3)
Simplificando:
2y = 0 Rightarrow y = 0

Passo 7

Agora que encontramos y = 0, vamos substituir esse valor na equação (6):
- x + 7(0) + 5z = -3 Rightarrow -x + 5z = -3
Podemos resolver para x:
x = 5z + 3

Passo 8

Agora que temos x em função de z e y = 0, vamos substituir esses valores na equação (1) para encontrar w:
-3(5z + 3) + 3(0) + 2z + w = -2
Simplificando:
-15z -9 + 2z + w = -2 Rightarrow -13z + w = 7 Rightarrow w = 13z + 7

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 5z + 3 y = 0 z = qualquer valor real w = 13z + 7
Ou seja, z pode ser qualquer número real, e x e w são expressos em termos de z.

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