2.48 Demonstre o Teorema 2.3: (i) (A+B)^T=A^T+B^T, (ii) (A^T)^T=A, (iii) (k A)^T=k A^T.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente provar o Teorema 2.3, que é só umas regrinhas de transposta de matriz:
  1. (A+B)^T=A^T+B^T
  2. l(A^Tr)^T=A
  3. (kA)^T=kA^T
Conteúdo: álgebra de matrizes – mais especificamente a definição de transposta.
O que vamos usar:
  • Se A é uma matriz mtimes n com elemento genérico Aij, a transposta A^T é a matriz ntimes m com
(A^T)ij = Aji
  • Como soma e multiplicação escalar de matrizes funcionam elemento a elemento:
(A+B)ij = Aij + Bij, (kA)ij = k,Aij
A partir do próximo passo, partimos pra prova de fato.

Passo 2

Prova de (i) (A+B)^T=A^T+B^T.
  1. Pelo lado esquerdo, olha o elemento genérico:
l((A+B)^Tr)ij = (A+B)ji
  1. Mas (A+B)ji = Aji + Bji pela definição de soma de matrizes.
  2. E Aji = (A^T)ij, Bji = (B^T)ij.
  3. Logo
l((A+B)^Tr)ij = Aji + Bji = (A^T)ij + (B^T)ij = l(A^T+B^Tr)ij
Como todos os elementos coincidem, (A+B)^T=A^T+B^T.

Passo 3

Prova de (ii) l(A^Tr)^T=A.
  1. Começa do elemento genérico de (A^T)^T:
l((A^T)^Tr)ij = (A^T)ji
  1. Mas por definição de transposta, (A^T)ji = Aij.
  2. Então
l((A^T)^Tr)ij = Aij,
o que mostra (A^T)^T e A têm todos os elementos iguais, ou seja, são a mesma matriz.

Passo 4

Prova de (iii) (kA)^T=kA^T.
  1. Pega o elemento de (kA)^T:
l((kA)^Tr)ij = (kA)ji
  1. Mas (kA)ji = k , Aji pela definição de multiplicação por escalar.
  2. E Aji = (A^T)ij.
  3. Logo
l((kA)^Tr)ij = k,Aji = k,(A^T)ij = l(kA^Tr)ij
Assim, cada elemento bate, provando (kA)^T=kA^T.

Resposta

Provamos as três propriedades:
(i) (A+B)^T=A^T+B^T,
(ii) l(A^Tr)^T=A,
(iii) (kA)^T=kA^T.

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