2.48 Demonstre o Teorema 2.3: (i)
, (ii)
, (iii)
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente provar o Teorema 2.3, que é só umas regrinhas de transposta de matriz:
Conteúdo: álgebra de matrizes – mais especificamente a definição de transposta.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Se
é uma matriz com elemento genérico , a transposta é a matriz com
- Como soma e multiplicação escalar de matrizes funcionam elemento a elemento:
A partir do próximo passo, partimos pra prova de fato.
Passo 2
Prova de (i)
.
- Pelo lado esquerdo, olha o elemento genérico:
- Mas
pela definição de soma de matrizes. - E
, . - Logo
Como todos os elementos coincidem,
.
Passo 3
Prova de (ii)
.
- Começa do elemento genérico de
:
- Mas por definição de transposta,
. - Então
o que mostra
e
têm todos os elementos iguais, ou seja, são a mesma matriz.
Passo 4
Prova de (iii)
.
- Pega o elemento de
:
- Mas
pela definição de multiplicação por escalar. - E
. - Logo
Assim, cada elemento bate, provando
.
Resposta
Provamos as três propriedades:
(i) ,
(ii) ,
(iii) .
(i)
(ii)
(iii)