2.47 Demonstre os itens (iii) e (iv) do Teorema 2.2: (iii)
, (iv)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar dois fatos sobre produtos de matrizes:
- (iii) a distributividade da multiplicação em relação à adição, ou seja,
- (iv) a compatibilidade da multiplicação por escalar com o produto de matrizes, aqui na forma
Para isso usaremos a definição de produto de matrizes via soma de produtos de entradas.
Passo 2
Sejam
e
matrizes de ordem
e
de ordem
. Por definição, a entrada
do produto
é
Passo 3
Pela propriedade distributiva do número real, temos
Mas
e
. Logo, para todo
,
o que implica
Passo 4
Agora seja
um escalar, e
de ordem
,
de ordem
. A entrada
do produto
é
Passo 5
Como isso vale para todo
, concluímos
ou seja,
Resposta
(iii)
.
(iv) .
(iv)