2.47 Demonstre os itens (iii) e (iv) do Teorema 2.2: (iii) (A+B) C=A C+B C, (iv) k(A B)=(k A)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar dois fatos sobre produtos de matrizes:
  • (iii) a distributividade da multiplicação em relação à adição, ou seja,
(A+B)C = AC + BC,
  • (iv) a compatibilidade da multiplicação por escalar com o produto de matrizes, aqui na forma
k(AB) = (kA)B.
Para isso usaremos a definição de produto de matrizes via soma de produtos de entradas.

Passo 2

Sejam A e B matrizes de ordem m\times n e C de ordem n\times p. Por definição, a entrada (i,j) do produto (A+B)C é
\bigl((A+B)C\bigr)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{n}(a_{ik}+b_{ik})\,c_{kj}.

Passo 3

Pela propriedade distributiva do número real, temos
\sum_{k=1}^{n}(a_{ik}+b_{ik})\,c_{kj} =\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\,c_{kj} \;+\;\sum_{k=1}^{n}b_{ik}\,c_{kj}.
Mas \sum_{k}a_{ik}c_{kj}=(AC)_{ij} e \sum_{k}b_{ik}c_{kj}=(BC)_{ij}. Logo, para todo i,j,
\bigl((A+B)C\bigr)_{ij} = (AC)_{ij} + (BC)_{ij},
o que implica
(A+B)C = AC + BC.

Passo 4

Agora seja k um escalar, e A de ordem m\times n, B de ordem n\times p. A entrada (i,j) do produto (kA)B é
\bigl((kA)B\bigr)_{ij} \;=\;\sum_{\ell=1}^{n}(k\,a_{i\ell})\,b_{\ell j} = k \sum_{\ell=1}^{n}a_{i\ell}\,b_{\ell j} = k\,(AB)_{ij}.

Passo 5

Como isso vale para todo i,j, concluímos
(kA)B = k\,(AB),
ou seja,
k(AB) = (kA)B.

Resposta

(iii) (A+B)C = AC + BC.
(iv) k(AB) = (kA)B.

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