Determine, se possível, o valor de x para que a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 x & 1 \\\ x^{2} & 0 & -x \\\ x+1 & x^{3} & 0\end{array}\right] seja:
(a) simétrica
(b) antissimétrica

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 2x & 1\\\ x^{2} & 0 & -x\\\ x+1 & x^{3} & 0 \end{pmatrix}
e pede os valores de x que tornam A (a) simétrica e (b) antissimétrica. Para isso, vamos igualar as entradas de A às de A^{T} no caso simétrico, e a -A no caso antissimétrico.

Passo 2

Para A ser simétrica, precisamos de
A_{ij}=A_{ji},\quad i<j.
Isto gera três equações:
  1. x^{2}=2x, pois A_{21}=x^{2} e A_{12}=2x.
  2. x+1=1, pois A_{31}=x+1 e A_{13}=1.
  3. x^{3}=-x, pois A_{32}=x^{3} e A_{23}=-x.
    Resolvendo cada uma:
x^{2}-2x=0\implies x=0\text{ ou }x=2,
x+1=1\implies x=0,
x^{3}+x=0\implies x(x^{2}+1)=0\implies x=0\\ (\text{em }\mathbb R).
A única solução comum é x=0.

Passo 3

Para A ser antissimétrica, precisamos de
A_{ij}=-A_{ji},\quad i<j,
além de A_{ii}=0 (já satisfeito). As equações são:
  1. 2x=-x^{2}, de A_{12}=-A_{21}.
  2. 1=-(x+1), de A_{13}=-A_{31}.
  3. -x=-x^{3}, de A_{23}=-A_{32}.
    Resolvendo:
x^{2}+2x=0\implies x=0\text{ ou }x=-2,
1+x+1=0\implies x=-2,
x^{3}-x=0\implies x(x^{2}-1)=0\implies x=0,\pm1.
Não há valor de x que satisfaça todas simultaneamente em \mathbb R.

Resposta

(a) x=0.
(b) Não existe valor real de x que torne A antissimétrica.

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