Os Problemas 2.42 e 2.43 se referem às matrizes seguintes.
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 4\end{array}\right]
B=\left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & -3 \\\\ -1 & -2 & 3\end{array}\right].
C=\left[\begin{array}{rrrr}2 & -3 & 0 & 1 \\\\ 5 & -1 & -4 & 2 \\\\ -1 & 0 & 0 & 3\end{array}\right]
D=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -1 \\\\ 3\end{array}\right].
Encontre A C

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 4\end{pmatrix}
e
C = \begin{pmatrix}2 & -3 & 0 & 1 \\\\ 5 & -1 & -4 & 2 \\\\ -1 & 0 & 0 & 3\end{pmatrix}
e pede o produto AC. O conteúdo empregado aqui é multiplicação de matrizes, que combina linhas de A com colunas de C.

Passo 2

Verificamos as dimensões: A é 2\times3 e C é 3\times4. Como o número de colunas de A (que é 3) coincide com o número de linhas de C (também 3), o produto existe e resultará numa matriz 2\times4.

Passo 3

Calculamos a primeira linha de AC fazendo o produto escalar da primeira linha de A com cada coluna de C:
\begin{aligned} (AC)_{1,1} &= 1\cdot2 +(-1)\cdot5 +2\cdot(-1) = 2-5-2 = -5,\\\ (AC)_{1,2} &= 1\cdot(-3) +(-1)\cdot(-1) +2\cdot0 = -3+1+0 = -2,\\\ (AC)_{1,3} &= 1\cdot0 +(-1)\cdot(-4) +2\cdot0 = 0+4+0 = 4,\\\ (AC)_{1,4} &= 1\cdot1 +(-1)\cdot2 +2\cdot3 = 1-2+6 = 5. \end{aligned}

Passo 4

Agora fazemos a mesma coisa para a segunda linha de A:
\begin{aligned} (AC)_{2,1} &= 0\cdot2 +3\cdot5 +4\cdot(-1) = 0+15-4 = 11,\\\ (AC)_{2,2} &= 0\cdot(-3) +3\cdot(-1) +4\cdot0 = 0-3+0 = -3,\\\ (AC)_{2,3} &= 0\cdot0 +3\cdot(-4) +4\cdot0 = 0-12+0 = -12,\\\ (AC)_{2,4} &= 0\cdot1 +3\cdot2 +4\cdot3 = 0+6+12 = 18. \end{aligned}

Passo 5

Reunindo esses resultados, obtemos a matriz produto AC:
AC = \begin{pmatrix} -5 & -2 & 4 & 5\\\\ 11 & -3 & -12 & 18 \end{pmatrix}.

Resposta

AC = \begin{pmatrix} -5 & -2 & 4 & 5\\\\ 11 & -3 & -12 & 18 \end{pmatrix}

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