Q1: Quais são todos os possíveis valores de \alpha e \beta para que o sistema linear a seguir tenha solução única?
\left[\begin{array}{rrc} -1 & -3 & -2 \\\\ 2 & 9 & 5 \\\\ 1 & 0 & 4+\alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0 \\\\ -1 \\\\ 3+\beta \end{array}\right]
(A) \alpha \neq-4, \quad \beta=-2.
(B) \alpha \neq-3, \quad \beta \in \mathbb{R}.
(C) \alpha \neq-4, \quad \beta \in \mathbb{R}.
(D) \alpha=-2, \quad \beta \neq-1.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com parâmetro \alpha na matriz de coeficientes e \beta no termo independente, e pede os valores de \alpha e \beta para que haja solução única. O conteúdo aqui é de sistemas lineares e determinante: um sistema A\vec x=\vec b tem solução única exatamente quando \det(A)\neq0.

Passo 2

Vamos chamar a matriz de coeficientes de
A=\begin{pmatrix} -1 & -3 & -2\\\\ 2 & 9 & 5\\\\ 1 & 0 & 4+\alpha \end{pmatrix}.
Devemos calcular \det(A) e exigir que seja diferente de zero.

Passo 3

Expandindo \det(A) pela primeira linha, temos
\det(A) =-1\cdot\det\begin{pmatrix}9&5\\\ 0&4+\alpha\end{pmatrix} -(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}2&5\\\ 1&4+\alpha\end{pmatrix} +(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}2&9\\\ 1&0\end{pmatrix}.

Passo 4

Calculemos cada menor:
\det\begin{pmatrix}9&5\\\ 0&4+\alpha\end{pmatrix} =9(4+\alpha)-0=9(4+\alpha),
\det\begin{pmatrix}2&5\\\ 1&4+\alpha\end{pmatrix} =2(4+\alpha)-5=8+2\alpha-5=3+2\alpha,
\det\begin{pmatrix}2&9\\\ 1&0\end{pmatrix} =2\cdot0-9\cdot1=-9.
Substituindo,
\det(A) =-1\cdot9(4+\alpha) +3\cdot(3+2\alpha) -2\cdot(-9) =-9(4+\alpha)+9+6\alpha+18.

Passo 5

Simplificando,
\det(A)=-36-9\alpha+9+6\alpha+18=-3(\alpha+3).
Para solução única precisamos \det(A)\neq0, ou seja
\alpha+3\neq0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha\neq-3.
O valor de \beta não interfere na invertibilidade de A, então \beta pode ser qualquer real.

Resposta

(B) \alpha\neq-3,\\ \beta\in\mathbb{R}.

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