1.49
O aumento (ou ampliação lateral) de um espelho (ou lente delgada) é dado por m=-\frac{i}{o}. A ampliação longitudinal é dada por m_{\ell}=\frac{d i}{d o}. (a) Analise o sinal da ampliação transversal ( m ). (b) A ampliação longitudinal é sempre negativa; qual é o significado físico deste resultado?

Passo 1

O enunciado fornece duas definições e pede duas coisas:
  • Dado: a ampliação transversal (ou lateral) é m=-\dfrac{i}{o}.
  • Dado: a ampliação longitudinal é m_{\ell}=\dfrac{d i}{d o}.
    As perguntas são:
    (a) analisar o sinal de m (isto é, o que significa m>0 ou m<0);
    (b) observar que m_{\ell} é sempre negativo e explicar o significado físico disso.

Passo 2

Antes de começar a calcular, vamos fixar claramente o que representam as variáveis e qual convenção de sinais usamos (explicação passo a passo e sem assumir que já sabe):
  • o é a distância do objeto até o centro óptico (ou vértice) do espelho/lente. Em situações usuais tomamos o>0 quando o objeto está na “frente” do elemento óptico (objeto real).
  • i é a distância da imagem até o mesmo ponto (centro óptico/vértice). Para uma lente fina, i>0 indica imagem real do lado oposto à entrada de luz e i<0 imagem virtual do mesmo lado do objeto. Para espelhos, interpreta-se de forma análoga com a convenção usual (imagem real em frente ao espelho tem certo sinal), mas a ideia chave é: o sinal de i distingue imagem real de virtual.
  • A ampliação transversal m relaciona tamanhos laterais (altura) do objeto e da imagem: se h_o é altura do objeto e h_i a da imagem, então h_i = m\, h_o.
  • Quando dizemos “imagem invertida” significa que h_i tem sinal oposto a h_o (ou seja, a imagem está de cabeça para baixo em relação ao objeto).
Com essas definições, podemos interpretar o sinal de m.

Passo 3

Analise algébrica do sinal de m:
m = -\dfrac{i}{o}.
  • Se adotarmos o caso comum de objeto real, então \;o>0\;. Assim o sinal de m é simplesmente o oposto do sinal de i:
\text{sign}(m) = -\text{sign}(i).
  • Consequências práticas:
    • Se i>0 (imagem real, do outro lado da lente no caso de lentes), então m<0. Como h_i=m h_o, ter m<0 implica h_i tem sinal oposto a h_o: a imagem é invertida (de cabeça para baixo).
    • Se i<0 (imagem virtual), então m>0. Então h_i e h_o têm o mesmo sinal: a imagem é direita (não invertida).
  • Interpretação de módulo:
    • |m|>1 significa que a imagem é maior que o objeto (ampliação lateral maior que 1).
    • |m|<1 significa imagem reduzida.
  • Dois exemplos numéricos curtos para fixar:
    • Exemplo 1: o=30\\ \text{cm},\\ i=60\\ \text{cm} (imagem real). Então m=-\dfrac{60}{30}=-2: imagem invertida e ampliada 2 vezes.
    • Exemplo 2: o=30\\ \text{cm},\\ i=-15\\ \text{cm} (imagem virtual). Então m=-\dfrac{-15}{30}=+\tfrac{1}{2}: imagem direita e reduzida à metade.

Passo 4

Agora vamos tratar da ampliação longitudinal m_{\ell}=\dfrac{d i}{d o}. Para relacionar i e o usamos a equação das lentes/espehos delgados (fórmula de Gauss):
\dfrac{1}{o}+\dfrac{1}{i}=\dfrac{1}{f},
onde f é a distância focal (constante do sistema). Esta fórmula só contém variáveis o e i (e constante f), então podemos diferenciá-la implicitamente em relação a o para obter \dfrac{d i}{d o}.
Diferenciando ambos os lados em relação a o:
-\dfrac{1}{o^{2}}-\dfrac{1}{i^{2}}\dfrac{d i}{d o}=0.
Aqui usei a regra \dfrac{d}{d o}\left(\dfrac{1}{o}\right)=-\dfrac{1}{o^{2}} e \dfrac{d}{d o}\left(\dfrac{1}{i}\right) = -\dfrac{1}{i^{2}}\dfrac{d i}{d o} (derivada composta porque i depende de o).
Agora resolvemos para \dfrac{d i}{d o}:
-\dfrac{1}{i^{2}}\dfrac{d i}{d o}=\dfrac{1}{o^{2}} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{d i}{d o} = -\dfrac{i^{2}}{o^{2}}.
Portanto
m_{\ell}=\dfrac{d i}{d o} = -\dfrac{i^{2}}{o^{2}}.

Passo 5

Interpretação do resultado de forma física e intuitiva (passo a passo):
  • Do resultado \;m_{\ell}=-\dfrac{i^{2}}{o^{2}}\; vemos imediatamente que o lado direito é negativo porque é uma razão de quadrados. Logo \;m_{\ell}<0 sempre.
  • Relação com a ampliação transversal: lembrando m=-\dfrac{i}{o}, temos
m_{\ell} = -\dfrac{i^{2}}{o^{2}} = -\biggl(\dfrac{i}{o}\biggr)^{2} = -m^{2}.
Assim o módulo da ampliação longitudinal é o quadrado da ampliação transversal, e o sinal é negativo.
  • Significado físico do sinal negativo:
    • \dfrac{d i}{d o}<0 significa que quando o objeto se move num sentido, a imagem se move no sentido oposto. Por exemplo, se o objeto se afasta (aumenta o), então i diminui (a imagem aproxima-se); se o objeto se aproxima (diminui o), a imagem vai para mais longe (aumenta i).
    • Em termos de tamanhos axiais (profundidade/espessura): uma pequena variação axial \Delta o do objeto produz uma variação axial da imagem \Delta i \approx m_{\ell}\,\Delta o. Como m_{\ell} é negativo, a variação axial da imagem tem direção oposta à do objeto e o módulo |m_{\ell}| diz quanto essa variação axial é ampliada (ou reduzida). Como |m_{\ell}|=m^{2}, se a ampliação lateral é grande, as variações axiais são ainda mais sensíveis (quadraticamente maiores).
  • Consequências práticas:
    • Em microscopios e sistemas de alta ampliação lateral, a profundidade de foco é muito pequena porque |m_{\ell}| grande: pequenas deslocações axiais do objeto necessitam de grandes correções de foco na imagem.
    • O sinal negativo indica a “inversão” do sentido do movimento axial entre objeto e imagem — algo importante para foco e alinhamento óptico.

Passo 6

Resumo didático final em linguagem curta e prática (para decorar e usar na prova):
  • Para identificar orientação da imagem: calcule m=-\dfrac{i}{o}. Se m<0 então a imagem está invertida; se m>0 então está direita. Normalmente, com objeto real ( o>0), imagem real ( i>0) dá m<0 (invertida); imagem virtual ( i<0) dá m>0 (direita).
  • A ampliação longitudinal é \;m_{\ell}=\dfrac{d i}{d o}=-\dfrac{i^{2}}{o^{2}}=-m^{2}. Ela é sempre negativa: imagem e objeto se movem em sentidos opostos ao variar axialmente; o módulo |m_{\ell}| mede a sensibilidade axial e vale o quadrado da ampliação lateral.

Resposta

(a) m=-\dfrac{i}{o}. O sinal de m depende do sinal de i: com objeto real ( o>0), se i>0 então m<0 (imagem invertida); se i<0 então m>0 (imagem direita). \n
(b) \;m_{\ell}=\dfrac{d i}{d o}=-\dfrac{i^{2}}{o^{2}}=-m^{2}<0. Fisicamente isto significa que uma pequena variação axial do objeto produz uma variação axial da imagem no sentido oposto; o módulo |m_{\ell}| (igual a m^{2}) indica quanto a variação axial da imagem é ampliada.

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