1.49
O aumento (ou ampliação lateral) de um espelho (ou lente delgada) é dado por
. A ampliação longitudinal é dada por
. (a) Analise o sinal da ampliação transversal (
). (b) A ampliação longitudinal é sempre negativa; qual é o significado físico deste resultado?
Passo 1
O enunciado fornece duas definições e pede duas coisas:
- Dado: a ampliação transversal (ou lateral) é
. - Dado: a ampliação longitudinal é
.
As perguntas são:
(a) analisar o sinal de(isto é, o que significa ou );
(b) observar queé sempre negativo e explicar o significado físico disso.
Passo 2
Antes de começar a calcular, vamos fixar claramente o que representam as variáveis e qual convenção de sinais usamos (explicação passo a passo e sem assumir que já sabe):
-
é a distância do objeto até o centro óptico (ou vértice) do espelho/lente. Em situações usuais tomamos quando o objeto está na “frente” do elemento óptico (objeto real). -
é a distância da imagem até o mesmo ponto (centro óptico/vértice). Para uma lente fina, indica imagem real do lado oposto à entrada de luz e imagem virtual do mesmo lado do objeto. Para espelhos, interpreta-se de forma análoga com a convenção usual (imagem real em frente ao espelho tem certo sinal), mas a ideia chave é: o sinal de distingue imagem real de virtual. - A ampliação transversal
relaciona tamanhos laterais (altura) do objeto e da imagem: se é altura do objeto e a da imagem, então . - Quando dizemos “imagem invertida” significa que
tem sinal oposto a (ou seja, a imagem está de cabeça para baixo em relação ao objeto).
Com essas definições, podemos interpretar o sinal de
.
Passo 3
Analise algébrica do sinal de
:
- Se adotarmos o caso comum de objeto real, então
. Assim o sinal de é simplesmente o oposto do sinal de :
- Consequências práticas:
- Se
(imagem real, do outro lado da lente no caso de lentes), então . Como , ter implica tem sinal oposto a : a imagem é invertida (de cabeça para baixo). - Se
(imagem virtual), então . Então e têm o mesmo sinal: a imagem é direita (não invertida).
- Se
- Interpretação de módulo:
-
significa que a imagem é maior que o objeto (ampliação lateral maior que 1). -
significa imagem reduzida.
-
- Dois exemplos numéricos curtos para fixar:
- Exemplo 1:
(imagem real). Então : imagem invertida e ampliada 2 vezes. - Exemplo 2:
(imagem virtual). Então : imagem direita e reduzida à metade.
- Exemplo 1:
Passo 4
Agora vamos tratar da ampliação longitudinal
. Para relacionar
e
usamos a equação das lentes/espehos delgados (fórmula de Gauss):
onde
é a distância focal (constante do sistema). Esta fórmula só contém variáveis
e
(e constante
), então podemos diferenciá-la implicitamente em relação a
para obter
.
Diferenciando ambos os lados em relação a :
Diferenciando ambos os lados em relação a
Aqui usei a regra
e
(derivada composta porque
depende de
).
Agora resolvemos para :
Agora resolvemos para
Portanto
Passo 5
Interpretação do resultado de forma física e intuitiva (passo a passo):
- Do resultado
vemos imediatamente que o lado direito é negativo porque é uma razão de quadrados. Logo sempre. - Relação com a ampliação transversal: lembrando
, temos
Assim o módulo da ampliação longitudinal é o quadrado da ampliação transversal, e o sinal é negativo.
- Significado físico do sinal negativo:
-
significa que quando o objeto se move num sentido, a imagem se move no sentido oposto. Por exemplo, se o objeto se afasta (aumenta ), então diminui (a imagem aproxima-se); se o objeto se aproxima (diminui ), a imagem vai para mais longe (aumenta ). - Em termos de tamanhos axiais (profundidade/espessura): uma pequena variação axial
do objeto produz uma variação axial da imagem . Como é negativo, a variação axial da imagem tem direção oposta à do objeto e o módulo diz quanto essa variação axial é ampliada (ou reduzida). Como , se a ampliação lateral é grande, as variações axiais são ainda mais sensíveis (quadraticamente maiores).
-
- Consequências práticas:
- Em microscopios e sistemas de alta ampliação lateral, a profundidade de foco é muito pequena porque
grande: pequenas deslocações axiais do objeto necessitam de grandes correções de foco na imagem. - O sinal negativo indica a “inversão” do sentido do movimento axial entre objeto e imagem — algo importante para foco e alinhamento óptico.
- Em microscopios e sistemas de alta ampliação lateral, a profundidade de foco é muito pequena porque
Passo 6
Resumo didático final em linguagem curta e prática (para decorar e usar na prova):
- Para identificar orientação da imagem: calcule
. Se então a imagem está invertida; se então está direita. Normalmente, com objeto real ( ), imagem real ( ) dá (invertida); imagem virtual ( ) dá (direita). - A ampliação longitudinal é
. Ela é sempre negativa: imagem e objeto se movem em sentidos opostos ao variar axialmente; o módulo mede a sensibilidade axial e vale o quadrado da ampliação lateral.
Resposta
(a)
. O sinal de
depende do sinal de
: com objeto real (
), se
então
(imagem invertida); se
então
(imagem direita). \n
(b) . Fisicamente isto significa que uma pequena variação axial do objeto produz uma variação axial da imagem no sentido oposto; o módulo
(igual a
) indica quanto a variação axial da imagem é ampliada.
(b)