Encontrar uma equação de hipérbole com focos nos vértices da elipse
e vértices nos focos dessa elipse:
Passo 1
O enunciado dá a elipse
e pede uma hipérbole cujos focos estejam nos vértices desta elipse e cujos vértices estejam nos focos da elipse. Vamos usar as formas canônicas de elipse e hipérbole e as relações entre
,
e
.
Passo 2
Para a elipse, comparando com
vemos que
Como
, os focos da elipse são
com
Logo a elipse tem vértices principais em
e focos em
.
Passo 3
Na hipérbole que queremos, os papéis trocam:
– Focos da hipérbole em (vértices da elipse).
– Vértices da hipérbole em (focos da elipse).
Numa hipérbole horizontal, a distância vértice–centro é e foco–centro é
. Vale
– Focos da hipérbole em
– Vértices da hipérbole em
Numa hipérbole horizontal, a distância vértice–centro é
Passo 4
A forma canônica da hipérbole é
Multiplicando ambos os lados por
para chegar na forma geral: