Encontrar uma equação de hipérbole com focos nos vértices da elipse x^225+y^29=1 e vértices nos focos dessa elipse:
9 x^2-16 y^2-144=0

Passo 1

O enunciado dá a elipse
x^225+y^29=1
e pede uma hipérbole cujos focos estejam nos vértices desta elipse e cujos vértices estejam nos focos da elipse. Vamos usar as formas canônicas de elipse e hipérbole e as relações entre a, b e c.

Passo 2

Para a elipse, comparando com
x^2a^2+y^2b^2=1
vemos que
a^2=25, b^2=9
Como a>b, os focos da elipse são (pm c,0) com
c^2=a^2-b^2=25-9=16Longrightarrow c=4
Logo a elipse tem vértices principais em (pm a,0)=(pm5,0) e focos em (pm4,0).

Passo 3

Na hipérbole que queremos, os papéis trocam:
– Focos da hipérbole em (pm5,0) (vértices da elipse).
– Vértices da hipérbole em (pm4,0) (focos da elipse).
Numa hipérbole horizontal, a distância vértice–centro é a'=4 e foco–centro é c'=5. Vale
c'^2=a'^2+b'^2 Longrightarrow b'^2=c'^2-a'^2=25-16=9

Passo 4

A forma canônica da hipérbole é
x^2a'^2-y^2b'^2 = x^216-y^29=1
Multiplicando ambos os lados por 144 para chegar na forma geral:
9x^2-16y^2-144=0

Resposta

9x^2-16y^2-144=0

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