48 Dois vetores \vec{a} e \vec{b} têm componentes, em metros, a_{x}=3,2, a_{y}=1,6, b_{x}=0,50 e b_{y}=4,5. (a) Determine o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Existem dois vetores no plano xy que são perpendiculares a \vec{a} e têm um módulo de 5,0 \mathrm{~m}. Um, o vetor \vec{c}, tem uma componente x positiva; o outro, o vetor \vec{d}, tem uma componente x negativa. Determine (b) a componente x e (c) a componente y de \vec{c}; (d) a componente x e (e) a componente y de \vec{d}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano xy com componentes (em metros):
a_x=3,2,\qquad a_y=1,6,\qquad b_x=0,50,\qquad b_y=4,5.
As perguntas são:
(a) determinar o ângulo entre \vec{a} e \vec{b};
(b) e (c) determinar as componentes x e y do vetor \vec{c} que é perpendicular a \vec{a}, tem módulo 5,0\\ \mathrm{m} e tem componente x positiva;
(d) e (e) determinar as componentes x e y do vetor \vec{d} que é perpendicular a \vec{a}, tem módulo 5,0\\ \mathrm{m} e tem componente x negativa.

Passo 2

Vamos lembrar e aplicar a fórmula do produto escalar para achar o ângulo. Para dois vetores no plano:
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y.
Além disso, o produto escalar também é dado por
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\cos\theta,
onde |\vec{a}| e |\vec{b}| são os módulos (normas) dos vetores e \theta é o ângulo entre eles. O módulo de um vetor no plano é
|\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.

Passo 3

Calcular o produto escalar e os módulos com os números dados (cada passo escrito para você poder reproduzir na prova).
Produto escalar:
\vec{a}\cdot\vec{b}=3,2\cdot0,50 + 1,6\cdot4,5 = 1,6 + 7,2 = 8,8.
Módulos:
|\vec{a}|=\sqrt{3,2^2 + 1,6^2}=\sqrt{10,24 + 2,56}=\sqrt{12,8}.
|\vec{b}|=\sqrt{0,50^2 + 4,5^2}=\sqrt{0,25 + 20,25}=\sqrt{20,5}.

Passo 4

Agora isolamos \cos\theta pela relação do produto escalar:
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} =\frac{8,8}{\sqrt{12,8}\,\sqrt{20,5}}.
Calculando numericamente (é suficiente para a prova obter 2–3 casas significativas):
\cos\theta\approx 0,5432.
Então o ângulo é
\theta=\operatorname{arccos}(0,5432)\approx 57,1^\circ.
Breve comentário didático: esse é o procedimento padrão — calcular a\cdot b, calcular os módulos e aplicar \theta=\operatorname{arccos}\!\big(\dfrac{a\cdot b}{|a||b|}\big). Na hora da prova faça as contas com a precisão pedida.

Passo 5

Agora vamos achar vetores perpendiculares a \vec{a} com módulo 5,0\\ \mathrm{m}. A condição de perpendicularidade é
\vec{a}\cdot\vec{c}=a_x c_x + a_y c_y = 0.
Com a_x=3,2 e a_y=1,6 isso vira
3,2\,c_x + 1,6\,c_y = 0.
Isolando c_y,
c_y = -\frac{3,2}{1,6}\,c_x = -2\,c_x.
Isso é importante: todo vetor perpendicular a \vec{a} no plano é proporcional ao vetor (1,-2).

Passo 6

Escrevemos o vetor perpendicular genérico como
\vec{c} = (c_x,\;c_y) = \big(c_x,\;-2c_x\big).
O módulo de \vec{c} é
|\vec{c}|=\sqrt{c_x^2 + (-2c_x)^2}=\sqrt{c_x^2 + 4c_x^2}=\sqrt{5\,c_x^2}=|c_x|\sqrt{5}.
Queremos |\vec{c}|=5,0. Assim
|c_x|\sqrt{5}=5,0\quad\Rightarrow\quad |c_x|=\frac{5,0}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}.
Portanto c_x pode ser +\sqrt{5} ou -\sqrt{5}. Esses dois sinais produzem os dois vetores perpendiculares com módulo 5,0\\ \mathrm{m}. O problema descreve qual dos dois é \vec{c} (com x positiva) e qual é \vec{d} (com x negativa).

Passo 7

Escolhendo c_x positivo para o vetor \vec{c}:
c_x = \sqrt{5},\qquad c_y = -2\,\sqrt{5}.
Dar forma exata e aproximação numérica (útil na prova):
\sqrt{5}\approx 2,236\quad\Rightarrow\quad c_x\approx 2,236\\ \mathrm{m},\qquad c_y\approx -4,472\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Escolhendo d_x negativo para o vetor \vec{d}:
d_x = -\sqrt{5},\qquad d_y = -2\,d_x = -2(-\sqrt{5}) = 2\,\sqrt{5}.
Novamente, forma exata e aproximação:
d_x\approx -2,236\\ \mathrm{m},\qquad d_y\approx 4,472\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Verificações rápidas (como dica para a prova): faça o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{c} e \vec{a}\cdot\vec{d} para confirmar que são zero, e calcule |\vec{c}| e |\vec{d}| para confirmar que valem 5,0\\ \mathrm{m}. Isso garante que não houve erro de sinal ou conta.

Resposta

(a) \theta\approx 57,1^\circ
(b) c_x=\sqrt{5}\\ \mathrm{m}\approx 2,236\\ \mathrm{m}
(c) c_y=-2\sqrt{5}\\ \mathrm{m}\approx -4,472\\ \mathrm{m}
(d) d_x=-\sqrt{5}\\ \mathrm{m}\approx -2,236\\ \mathrm{m}
(e) d_y=2\sqrt{5}\\ \mathrm{m}\approx 4,472\\ \mathrm{m}

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