48 Dois vetores
e
têm componentes, em metros,
e
. (a) Determine o ângulo entre
e
. Existem dois vetores no plano xy que são perpendiculares a
e têm um módulo de
. Um, o vetor
, tem uma componente
positiva; o outro, o vetor
, tem uma componente
negativa. Determine (b) a componente
e (c) a componente
de
; (d) a componente
e (e) a componente
de
.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores no plano
com componentes (em metros):
As perguntas são:
(a) determinar o ângulo entre e
;
(b) e (c) determinar as componentes e
do vetor
que é perpendicular a
, tem módulo
e tem componente
positiva;
(d) e (e) determinar as componentes e
do vetor
que é perpendicular a
, tem módulo
e tem componente
negativa.
(a) determinar o ângulo entre
(b) e (c) determinar as componentes
(d) e (e) determinar as componentes
Passo 2
Vamos lembrar e aplicar a fórmula do produto escalar para achar o ângulo. Para dois vetores no plano:
Além disso, o produto escalar também é dado por
onde
e
são os módulos (normas) dos vetores e
é o ângulo entre eles. O módulo de um vetor no plano é
Passo 3
Calcular o produto escalar e os módulos com os números dados (cada passo escrito para você poder reproduzir na prova).
Produto escalar:
Produto escalar:
Módulos:
Passo 4
Agora isolamos
pela relação do produto escalar:
Calculando numericamente (é suficiente para a prova obter 2–3 casas significativas):
Então o ângulo é
Breve comentário didático: esse é o procedimento padrão — calcular
, calcular os módulos e aplicar
. Na hora da prova faça as contas com a precisão pedida.
Passo 5
Agora vamos achar vetores perpendiculares a
com módulo
. A condição de perpendicularidade é
Com
e
isso vira
Isolando
,
Isso é importante: todo vetor perpendicular a
no plano é proporcional ao vetor
.
Passo 6
Escrevemos o vetor perpendicular genérico como
O módulo de
é
Queremos
. Assim
Portanto
pode ser
ou
. Esses dois sinais produzem os dois vetores perpendiculares com módulo
. O problema descreve qual dos dois é
(com
positiva) e qual é
(com
negativa).
Passo 7
Escolhendo
positivo para o vetor
:
Dar forma exata e aproximação numérica (útil na prova):
Passo 8
Escolhendo
negativo para o vetor
:
Novamente, forma exata e aproximação:
Passo 9
Verificações rápidas (como dica para a prova): faça o produto escalar
e
para confirmar que são zero, e calcule
e
para confirmar que valem
. Isso garante que não houve erro de sinal ou conta.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)