55 Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos em um plano:
para sudoeste,
para leste, e
em uma direção
ao norte do leste. Use um sistema de coordenadas com o eixo
apontando para o norte e o eixo
apontando para leste. Determine (a) a componente
e (b) a componente
de
. Determine (c) a componente
e (d) a componente
de
. Determine (e) a componente
e (f) a componente
de
. Considere o deslocamento total da partícula após os três deslocamentos. Determine (g) a componente
, (h) a componente
, (i) o módulo e (j) a orientação do deslocamento total. Para que a partícula volte ao ponto de partida (k) que distância deve percorrer e (l) em que direção deve se deslocar?
Passo 1
O enunciado dá três deslocamentos num plano, com o eixo
para leste e o eixo
para norte. Vou listar claramente o que é pedido e os dados numéricos fornecidos:
- Dados (peguei estes valores do enunciado):
-
: módulo , direção sudoeste. -
: módulo , direção leste. -
: módulo , direção ao norte do leste.
-
- O que o enunciado pede:
(a) componentede .
(b) componentede .
(c) componentede .
(d) componentede .
(e) componentede .
(f) componentede .
(g) componentedo deslocamento total .
(h) componentede .
(i) módulo.
(j) orientação de(ângulo medido a partir do eixo positivo, ou seja, “ao norte do leste”).
(k) distância que a partícula precisa percorrer para voltar ao ponto de partida.
(l) direção desse deslocamento que leva ao ponto de partida.
Passo 2
Entendimento geométrico e convenções (útil para calcular componentes):
- Um vetor com módulo
e direção fazendo ângulo com o eixo (medido positivo no sentido anti-horário) tem componentes
Aqui o eixo
é leste e o eixo
é norte. Sinais das componentes dependem da direção: leste
positivo, oeste
negativo; norte
positivo, sul
negativo.
Passo 3
Calcular as componentes de
(4,00 m para sudoeste). Explicação da direção: “sudoeste” é exatamente a direção intermediária entre sul e oeste, ou seja, faz um ângulo de
abaixo do eixo negativo
. Medido a partir do eixo positivo
(leste) isso corresponde a
. Outra forma prática: sudoeste significa componentes iguais em magnitude para oeste e para sul, portanto ambas negativas e com fator
.
Usando a fórmula de componentes:
Aqui o sinal negativo indica oeste (para
) e sul (para
). Se quiser valores numéricos:
Passo 4
Calcular as componentes de
(5,00 m para leste). A direção leste é exatamente ao longo do eixo
positivo, então:
Explicando: quando o vetor está exatamente sobre um eixo, a componente ao longo do outro eixo é zero.
Passo 5
Calcular as componentes de
(6,00 m,
ao norte do leste). Aqui o ângulo medido a partir do eixo
positivo é
. Então:
Valor numérico:
Passo 6
Somar componentes para obter o deslocamento total
. Vou somar
com
e
com
.
Componente
:
Valor numérico:
Componente
:
Valor numérico:
Passo 7
Calcular o módulo do deslocamento total. Fórmula do módulo de um vetor a partir das componentes:
Substituindo as expressões exatas:
Somando:
Valor numérico:
(Usei aproximações para
e
para obter o valor numérico; o método é a aplicação da fórmula pitagórica sobre as componentes.)
Passo 8
Calcular a orientação de
(ângulo medido a partir do eixo
positivo, sentido anti-horário). Regra: se
e
, o ângulo está no primeiro quadrante e pode-se usar
Substituindo os valores numéricos:
Interpretação:
aponta
ao norte do leste.
Passo 9
Para que a partícula volte ao ponto de partida é necessário um deslocamento igual a
. Portanto:
- (k) a distância a percorrer é exatamente o módulo
calculado no Passo 7, isto é, aproximadamente . - (l) a direção é a direção oposta a
. Se é ao norte do leste, o deslocamento de retorno será ao sul do oeste (ou também pode ser descrito como oposto, isto é ao sul do oeste).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) ao norte do leste
(k) distância para voltar:
(l) direção para voltar: ao sul do oeste (direção oposta a
)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k) distância para voltar:
(l) direção para voltar: