55 Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos em um plano: \vec{d}_{1}, 4,00 \mathrm{~m} para sudoeste, \vec{d}_{2}, 5,00 para leste, e \vec{d}_{3}, 6,00 em uma direção 60,0^{\circ} ao norte do leste. Use um sistema de coordenadas com o eixo y apontando para o norte e o eixo x apontando para leste. Determine (a) a componente x e (b) a componente y de \vec{d}_{1}. Determine (c) a componente x e (d) a componente y de \vec{d}_{2}. Determine (e) a componente x e (f) a componente y de \vec{d}_{3}. Considere o deslocamento total da partícula após os três deslocamentos. Determine (g) a componente x, (h) a componente y, (i) o módulo e (j) a orientação do deslocamento total. Para que a partícula volte ao ponto de partida (k) que distância deve percorrer e (l) em que direção deve se deslocar?

Passo 1

O enunciado dá três deslocamentos num plano, com o eixo x para leste e o eixo y para norte. Vou listar claramente o que é pedido e os dados numéricos fornecidos:
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • \vec{d}_1: módulo \,4,00\\ \mathrm{m}\,, direção sudoeste.
    • \vec{d}_2: módulo \,5,00\\ \mathrm{m}\,, direção leste.
    • \vec{d}_3: módulo \,6,00\\ \mathrm{m}\,, direção 60,0^\circ ao norte do leste.
  • O que o enunciado pede:
    (a) componente x de \vec{d}_1.
    (b) componente y de \vec{d}_1.
    (c) componente x de \vec{d}_2.
    (d) componente y de \vec{d}_2.
    (e) componente x de \vec{d}_3.
    (f) componente y de \vec{d}_3.
    (g) componente x do deslocamento total \vec{D}=\vec{d}_1+\vec{d}_2+\vec{d}_3.
    (h) componente y de \vec{D}.
    (i) módulo |\vec{D}|.
    (j) orientação de \vec{D} (ângulo medido a partir do eixo x positivo, ou seja, “ao norte do leste”).
    (k) distância que a partícula precisa percorrer para voltar ao ponto de partida.
    (l) direção desse deslocamento que leva ao ponto de partida.

Passo 2

Entendimento geométrico e convenções (útil para calcular componentes):
  • Um vetor com módulo D e direção fazendo ângulo \theta com o eixo x (medido positivo no sentido anti-horário) tem componentes
D_x = D\cos\theta,\qquad D_y = D\sin\theta.
Aqui o eixo x é leste e o eixo y é norte. Sinais das componentes dependem da direção: leste \Rightarrow x positivo, oeste \Rightarrow x negativo; norte \Rightarrow y positivo, sul \Rightarrow y negativo.

Passo 3

Calcular as componentes de \vec{d}_1 (4,00 m para sudoeste). Explicação da direção: “sudoeste” é exatamente a direção intermediária entre sul e oeste, ou seja, faz um ângulo de 45^\circ abaixo do eixo negativo x. Medido a partir do eixo positivo x (leste) isso corresponde a \theta_1=225^\circ. Outra forma prática: sudoeste significa componentes iguais em magnitude para oeste e para sul, portanto ambas negativas e com fator \cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Usando a fórmula de componentes:
\text{(a) } d_{1x}= -\,4,00\cdot\cos45^\circ = -\,4,00\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = -\,2\sqrt{2}\\ \mathrm{m}.
\text{(b) } d_{1y}= -\,4,00\cdot\sin45^\circ = -\,4,00\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = -\,2\sqrt{2}\\ \mathrm{m}.
Aqui o sinal negativo indica oeste (para x) e sul (para y). Se quiser valores numéricos:
-\,2\sqrt{2}\approx -\,2,83\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular as componentes de \vec{d}_2 (5,00 m para leste). A direção leste é exatamente ao longo do eixo x positivo, então:
\text{\text{(c)} } d_{2x}=+\,5,00\\ \mathrm{m}, \qquad \text{(d) } d_{2y}=0,00\\ \mathrm{m}.
Explicando: quando o vetor está exatamente sobre um eixo, a componente ao longo do outro eixo é zero.

Passo 5

Calcular as componentes de \vec{d}_3 (6,00 m, 60,0^\circ ao norte do leste). Aqui o ângulo medido a partir do eixo x positivo é \theta_3=60,0^\circ. Então:
\text{(e) } d_{3x}=6,00\cos60,0^\circ = 6,00\cdot\dfrac{1}{2}=3,00\\ \mathrm{m}.
\text{(f) } d_{3y}=6,00\sin60,0^\circ = 6,00\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.
Valor numérico:
3\sqrt{3}\approx 5,20\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Somar componentes para obter o deslocamento total \vec{D}=\vec{d}_1+\vec{d}_2+\vec{d}_3. Vou somar x com x e y com y.
Componente x:
\text{(g) } D_x = d_{1x}+d_{2x}+d_{3x} = -\,2\sqrt{2} + 5,00 + 3,00 = 8,00 - 2\sqrt{2}\\ \mathrm{m}.
Valor numérico:
8,00 - 2\sqrt{2}\approx 5,17\\ \mathrm{m}.
Componente y:
\text{(h) } D_y = d_{1y}+d_{2y}+d_{3y} = -\,2\sqrt{2} + 0,00 + 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\\ \mathrm{m}.
Valor numérico:
3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\approx 2,37\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular o módulo do deslocamento total. Fórmula do módulo de um vetor a partir das componentes:
\text{(i) } |\vec{D}| = \sqrt{D_x^{2}+D_y^{2}}.
Substituindo as expressões exatas:
D_x^{2} = (8 - 2\sqrt{2})^{2} = 72 - 32\sqrt{2},
D_y^{2} = (3\sqrt{3} - 2\sqrt{2})^{2} = 35 - 12\sqrt{6}.
Somando:
|\vec{D}|^{2} = 107 - 32\sqrt{2} - 12\sqrt{6}.
Valor numérico:
|\vec{D}| \approx \sqrt{32,351288\ldots}\approx 5,69\\ \mathrm{m}.
(Usei aproximações para \sqrt{2} e \sqrt{6} para obter o valor numérico; o método é a aplicação da fórmula pitagórica sobre as componentes.)

Passo 8

Calcular a orientação de \vec{D} (ângulo medido a partir do eixo x positivo, sentido anti-horário). Regra: se D_x>0 e D_y>0, o ângulo está no primeiro quadrante e pode-se usar
\text{(j) } \theta = \arctan\!\left(\dfrac{D_y}{D_x}\right).
Substituindo os valores numéricos:
\theta = \arctan\!\left(\dfrac{2,3677\ldots}{5,1716\ldots}\right)\approx \arctan(0,4577\ldots)\approx 24,6^\circ.
Interpretação: \vec{D} aponta \,24,6^\circ ao norte do leste.

Passo 9

Para que a partícula volte ao ponto de partida é necessário um deslocamento igual a -\vec{D}. Portanto:
  • (k) a distância a percorrer é exatamente o módulo |\vec{D}| calculado no Passo 7, isto é, aproximadamente 5,69\\ \mathrm{m}.
  • (l) a direção é a direção oposta a \vec{D}. Se \vec{D} é 24,6^\circ ao norte do leste, o deslocamento de retorno será 24,6^\circ ao sul do oeste (ou também pode ser descrito como 180^\circ oposto, isto é 24,6^\circ ao sul do oeste).

Resposta

(a) d_{1x} = -\,2\sqrt{2}\\ \mathrm{m} \approx -\,2,83\\ \mathrm{m}
(b) d_{1y} = -\,2\sqrt{2}\\ \mathrm{m} \approx -\,2,83\\ \mathrm{m}
(c) d_{2x} = 5,00\\ \mathrm{m}
(d) d_{2y} = 0,00\\ \mathrm{m}
(e) d_{3x} = 3,00\\ \mathrm{m}
(f) d_{3y} = 3\sqrt{3}\\ \mathrm{m} \approx 5,20\\ \mathrm{m}
(g) D_x = 8 - 2\sqrt{2}\\ \mathrm{m} \approx 5,17\\ \mathrm{m}
(h) D_y = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\\ \mathrm{m} \approx 2,37\\ \mathrm{m}
(i) |\vec{D}| \approx 5,69\\ \mathrm{m}
(j) \theta \approx 24,6^\circ ao norte do leste
(k) distância para voltar: 5,69\\ \mathrm{m}
(l) direção para voltar: 24,6^\circ ao sul do oeste (direção oposta a \vec{D})

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