50 Um antigo relógio de pêndulo de aço (coeficiente de dilatação linear
) funciona corretamente durante o inverno. No verão, ele passa a atrasar o equivalente a 2 min por mês. Determine a diferença entre as temperaturas médias de verão e inverno.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações dadas:
O relógio funciona corretamente no inverno e, no verão, passa a atrasar
minutos por mês. Vou assumir que “mês” vale
dias (é uma suposição padrão quando o enunciado não precisa de mais precisão). Pergunta a responder:
Passo 2
Entender como o período do pêndulo depende do comprimento. O período
de um pêndulo simples é dado por
onde
é o comprimento do pêndulo e
a aceleração da gravidade. Aqui
é o que muda com a temperatura, e essa mudança altera
, fazendo o relógio andar mais devagar ou mais rápido.
Passo 3
Relacionar pequenas variações: quando
sofre uma pequena variação
, o período
também varia. Para variações pequenas podemos usar a aproximação da raiz quadrada:
Aplicando isso a
escrevendo
,
Explico: a variação relativa do período é metade da variação relativa do comprimento.
Passo 4
Relacionar
com a variação de temperatura usando dilatação linear. Para um material com coeficiente de dilatação linear
,
onde
é a diferença de temperatura entre verão e inverno. Dividindo por
,
Passo 5
Combinar as duas relações para ligar a variação relativa do período com a variação de temperatura:
Essa é a fórmula chave: um aumento de temperatura faz o pêndulo ficar mais longo, aumentando o período e, portanto, fazendo o relógio atrasar.
Passo 6
Relacionar o atraso observado com a variação relativa do período. Se durante um intervalo de tempo real
o período aumenta em fração
, então o relógio marca um tempo menor aproximadamente por um fator
. Assim o atraso absoluto em
é aproximadamente
. Portanto a fração do tempo perdido no intervalo é aproximadamente
Passo 7
Calcular a fração
a partir do dado numérico: o relógio atrasa
minutos por mês. Com a suposição de mês de
dias, o total de minutos no mês é
Então
Passo 8
Isolar
na relação
. Assim
Substituindo
e
:
Passo 9
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) e lembrando que a unidade é grau Celsius,
Pronto — chegamos ao resultado usando apenas a fórmula do período do pêndulo, a fórmula da dilatação linear e a aproximação para variações pequenas. Você conseguiu! Dá pra usar esse raciocínio direto na prova: derive a relação
, calcule a fração de tempo perdido e resolva para
.