50 Um antigo relógio de pêndulo de aço (coeficiente de dilatação linear \alpha=10.10^{-6} \mathrm{C}^{-1} ) funciona corretamente durante o inverno. No verão, ele passa a atrasar o equivalente a 2 min por mês. Determine a diferença entre as temperaturas médias de verão e inverno.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações dadas:
\alpha = 10\cdot 10^{-6}\,\mathrm{C}^{-1} = 1{,}0\times10^{-5}\,\mathrm{C}^{-1}
O relógio funciona corretamente no inverno e, no verão, passa a atrasar 2 minutos por mês. Vou assumir que “mês” vale 30 dias (é uma suposição padrão quando o enunciado não precisa de mais precisão). Pergunta a responder:
\text{Determinar a diferença de temperatura média entre verão e inverno, ou seja }\Delta \theta.çéã

Passo 2

Entender como o período do pêndulo depende do comprimento. O período T de um pêndulo simples é dado por
T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}},
onde L é o comprimento do pêndulo e g a aceleração da gravidade. Aqui L é o que muda com a temperatura, e essa mudança altera T, fazendo o relógio andar mais devagar ou mais rápido.

Passo 3

Relacionar pequenas variações: quando L sofre uma pequena variação \Delta L, o período T também varia. Para variações pequenas podemos usar a aproximação da raiz quadrada:
\sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\frac{\varepsilon}{2}\quad(\text{para }|\varepsilon|\ll1).
Aplicando isso a T escrevendo L\to L+\Delta L,
\frac{\Delta T}{T}\approx\frac{1}{2}\frac{\Delta L}{L}.
Explico: a variação relativa do período é metade da variação relativa do comprimento.

Passo 4

Relacionar \Delta L com a variação de temperatura usando dilatação linear. Para um material com coeficiente de dilatação linear \alpha,
\Delta L = \alpha L\,\Delta \theta,
onde \Delta \theta é a diferença de temperatura entre verão e inverno. Dividindo por L,
\frac{\Delta L}{L} = \alpha \,\Delta \theta.

Passo 5

Combinar as duas relações para ligar a variação relativa do período com a variação de temperatura:
\frac{\Delta T}{T}\approx\frac{1}{2}\alpha\,\Delta \theta.
Essa é a fórmula chave: um aumento de temperatura faz o pêndulo ficar mais longo, aumentando o período e, portanto, fazendo o relógio atrasar.

Passo 6

Relacionar o atraso observado com a variação relativa do período. Se durante um intervalo de tempo real \tau o período aumenta em fração \varepsilon=\Delta T/T, então o relógio marca um tempo menor aproximadamente por um fator 1/(1+\varepsilon)\approx 1-\varepsilon. Assim o atraso absoluto em \tau é aproximadamente \varepsilon\,\tau. Portanto a fração do tempo perdido no intervalo é aproximadamente
f=\frac{\text{tempo perdido}}{\text{tempo real}} \approx \frac{\Delta T}{T} \approx \frac{1}{2}\alpha\,\Delta \theta.

Passo 7

Calcular a fração f a partir do dado numérico: o relógio atrasa 2 minutos por mês. Com a suposição de mês de 30 dias, o total de minutos no mês é
30\times 24\times 60 = 43200\\ \text{min}.
Então
f=\frac{2}{43200} = \frac{1}{21600}\approx 4{,}62963\times10^{-5}.

Passo 8

Isolar \Delta \theta na relação \displaystyle f\approx\frac{1}{2}\alpha\,\Delta \theta. Assim
\Delta \theta \approx \frac{2f}{\alpha}.
Substituindo f e \alpha:
\Delta \theta \approx \frac{2\cdot 4{,}62963\times10^{-5}}{1{,}0\times10^{-5}} = \frac{9{,}25926\times10^{-5}}{1{,}0\times10^{-5}} =9{,}25926\\ \mathrm{^\circ C}.

Passo 9

Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) e lembrando que a unidade é grau Celsius,
\Delta \theta \approx 9{,}26^\circ\mathrm{C}.
Pronto — chegamos ao resultado usando apenas a fórmula do período do pêndulo, a fórmula da dilatação linear e a aproximação para variações pequenas. Você conseguiu! Dá pra usar esse raciocínio direto na prova: derive a relação \Delta T/T\approx\frac{1}{2}\alpha\Delta\theta, calcule a fração de tempo perdido e resolva para \Delta\theta.

Resposta

\Delta \theta \approx 9{,}26^\circ\mathrm{C}

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