3.48 Sendo p primo, se p mid p1 times p2, pelo problema anterior, p mid p1 ou p mid p2. Como p1 e p2 são primos, isto acarreta que p=p1 ou p=p2.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, sendo p, p1 e p2 números primos, se
p mid p1times p2
então necessariamente
p = p1ou p = p2
O conteúdo envolvido é o lema de Euclides sobre divisibilidade por primo.

Passo 2

Pelo lema de Euclides, se um número primo p divide um produto ab, então p divide a ou p divide b. Aplicando com a = p1 e b = p2, obtemos:
p mid p1ou p mid p2

Passo 3

Agora, note que p e p1 são primos. Os únicos divisores de um primo p1 são 1 e p1. Como p também é primo e pmid p1, só resta
p = p1
De modo análogo, se pmid p2 e p2 é primo, então
p = p2

Resposta

Portanto, se p é primo e pmid p1p2 com p1,p2 primos, segue que
p = p1ou p = p2

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