Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
1-2 !1 cdot 3+3 !1 cdot 3 cdot 5-4 !1 cdot 3 cdot 5 cdot 7+cdots +(-1)^n-1 n !1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot(2 n-1)+cdots

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n-1,n!1cdot3cdot5cdots(2n-1)
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar testes de convergência, em particular o Teste da Razão aplicado à série de termos absolutos.

Passo 2

Definimos
bn = |(-1)^n-1,n!1cdot3cdot5cdots(2n-1)| = n!(2n-1)!!
onde (2n-1)!!=1cdot3cdot5cdots(2n-1). Para verificar convergência absoluta, aplicamos o Teste da Razão à série sum bn.

Passo 3

Calculamos a razão
bn+1bn = (n+1)!(2(n+1)-1)!!n!(2n-1)!! = (n+1),n!(2n+1)(2n-1)!!,(2n-1)!!n! = n+12n+1

Passo 4

Tomando o limite quando ntoinfty,
limntoinftybn+1bn = limntoinftyn+12n+1 = 12 < 1
Pelo Teste da Razão, como esse limite é menor que 1, a série sum bn converge.

Passo 5

Concluímos que sum|an|=sum bn converge, ou seja, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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