Obtenha o limite.
lim t 1(3t^2 i+t-1t^2-1 j+ln (2-t) k)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial
r(t)=3t^2i+t-1t^2-1j+ln(2-t)k
quando tto1. Vamos usar propriedades de limites e continuidade de funções elementares.

Passo 2

Para o componente em i, temos a função f(t)=3/t^2, que é contínua em t=1. Logo,
limtto13t^2 =31^2 =3

Passo 3

Para o componente em j, note que
t-1t^2-1 =t-1(t-1)(t+1) =1t+1, tneq1
Como 1/(t+1) é contínua em t=1, temos
limtto1t-1t^2-1 =limtto11t+1 =12

Passo 4

Para o componente em k, a função é g(t)=ln(2-t). Como 2-t é contínua e ln(x) é contínua em x=1, obtemos
limtto1ln(2-t) =ln(2-1) =ln(1) =0

Resposta

limtto1l(3t^2i+t-1t^2-1j+ln(2-t)kr) =3,i+tfrac12,j+0,k =3,i+tfrac12,j

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