49 Encontre o limite

lim x infty 12 x+3
lim x infty 3 x+5x-4
lim x -infty 1-x-x^22 x^2-7
lim t -infty 6 t^2+5 t(1-t)(2 t-3)
lim x -infty x^3+5 x2 x^3-x^2+4
lim t -infty t^2+2t^3+t^2-1
lim u infty 4 u^4+5(u^2-2)(2 u^2-1)
lim x infty x+2raiz9 x^2+1
lim x infty raiz9 x^6-xx^3+1
lim x -infty raiz9 x^6-xx^3+1
lim x infty(raiz9 x^2+x-3 x)
lim x -infty(x+raizx^2+2 x)
lim x infty(raizx^2+a x-raizx^2+b x)
lim x infty cos x
lim x infty x+x^3+x^51-x^2+x^4
lim x infty raizx^2+1
lim x -infty(x^4+x^5)
lim x infty(x-raizx)
lim x infty 1-e^x1+2 e^x
lim x infty tg^-1(x^2-x^4)
lim x infty(e^-2 x cos x)
lim x (pi / 2)^+ e^lg x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule vários limites quando x ou outra variável tende a pminfty ou a um ponto finito. Os conteúdos principais são:
1. Limites de funções racionais (polinômio sobre polinômio) usando comparação de graus.
2. Limites envolvendo raízes quadradas, usando fatoração do maior termo.
3. Limites de funções exponenciais e trigonométricas, usando continuidade ou comportamento assintótico.
4. Limites do tipo indeterminado, que resolvemos por racionalização ou expansão assintótica.

Passo 2

Para todas as funções racionais do tipo
an x^n + dotsbm x^m + dots,
o limite em pminfty é
– zero se n<m,
– razão dos coeficientes an/bm se n=m,
pminfty se n>m, com o sinal definido pelo sinal assintótico de x^n.
Aplicando isso aos itens:
limxtoinfty12x+3=0,
limxtoinfty3x+5x-4=3,
limxto-infty1 - x - x^22x^2 - 7=-tfrac12,
limtto-infty6t^2+5t(1-t)(2t-3)=limtto-infty6t^2+5t-2t^2+5t-3=-3,
limxto-inftyx^3+5x2x^3 - x^2 +4=tfrac12,
limtto-inftyt^2+2t^3+t^2-1=0,
limutoinfty4u^4+5(u^2-2)(2u^2-1)=42=2

Passo 3

Para limites com raízes quadradas de polinômios de grau maior, fatoramos o maior termo:
limxtoinftyx+2raiz9x^2+1 =limxtoinftyx(1+2/x)|x|raiz9+1/x^2 =13,
limxtoinftyraiz9x^6 - xx^3+1 =3x^3x^3=3,
limxto-inftyraiz9x^6 - xx^3+1 =3|x^3|x^3=-3,
Para raiz9x^2+x-3x, racionalizamos:
raiz9x^2+x-3x =(raiz9x^2+x-3x)(raiz9x^2+x+3x)raiz9x^2+x+3x =xraiz9x^2+x+3x ;xrightarrow[xtoinfty];16
Para x+raizx^2+2x em -infty, escrevemos raizx^2+2x=|x|raiz1+2/x=-x(1+1/x+cdots), e obtemos
x+raizx^2+2xto -1
E, de modo similar,
limxtoinftyl(raizx^2+ax-raizx^2+bxr) =a-b2

Passo 4

Para os demais:
limxtoinftycos x não existe (oscila entre (-1) e (1)), ã
limxtoinftyx+x^3+x^51 - x^2 + x^4 simx^5x^4=+infty,
limxtoinftyraizx^2+1=+infty,
limxto-infty(x^4+x^5)sim x^5=-infty,
limxtoinfty(x-raizx)=+infty,
limxtoinfty1 - e^x1 + 2e^x =-e^x2e^x=-tfrac12,
limxtoinftyarctan(x^2 - x^4) =arctan(-infty)=-tfracpi2,
limxtoinftye^-2xcos x=0(!e^-2xto0,;cos x limitada),
limxto(pi/2)^+e^lg x =e^lg(pi/2)

Resposta

limxtoinfty12x+3=0
limxtoinfty3x+5x-4=3
limxto-infty1-x-x^22x^2-7=-tfrac12
limtto-infty6t^2+5t(1-t)(2t-3)=-3
limxto-inftyx^3+5x2x^3-x^2+4=tfrac12
limtto-inftyt^2+2t^3+t^2-1=0
limutoinfty4u^4+5(u^2-2)(2u^2-1)=2
limxtoinftyx+2raiz9x^2+1=tfrac13
limxtoinftyraiz9x^6-xx^3+1=3
limxto-inftyraiz9x^6-xx^3+1=-3
limxtoinftyl(raiz9x^2+x-3xr)=tfrac16
limxto-inftyl(x+raizx^2+2xr)=-1
limxtoinftyl(raizx^2+ax-raizx^2+bxr)=tfraca-b2
O limite limxtoinftycos x não existe.
limxtoinftyx+x^3+x^51-x^2+x^4=+infty
limxtoinftyraizx^2+1=+infty
limxto-infty(x^4+x^5)=-infty
limxtoinfty(x-raizx)=+infty
limxtoinfty1-e^x1+2e^x=-tfrac12
limxtoinftyarctan(x^2-x^4)=-tfracpi2
limxtoinftye^-2xcos x=0
limxto(pi/2)^+e^lg x=e^lg(pi/2)

Exercícios relacionados