Resolva em R as inequações.
3(x+1)(2 x+1) <=(2 x-1)(3 x+2)-(4-5 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa inequação juntos! A questão pede para a gente resolver em R a seguinte desigualdade:
3(x+1)(2x+1) <= (2x -1)(3x +2) - (4 -5x)
Vamos precisar usar o conteúdo de álgebra, especificamente a resolução de inequações do segundo grau. Isso envolve expandir os termos, simplificar a expressão e encontrar os valores de x que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir os dois lados da inequação para facilitar a simplificação. Vamos começar com o lado esquerdo:
3(x+1)(2x+1)
Para expandir, multiplicamos os termos dentro dos parênteses primeiro:
(x + 1)(2x + 1) = x cdot 2x + x cdot 1 + 1 cdot 2x + 1 cdot 1 = 2x^2 + x + 2x + 1 = 2x^2 + 3x + 1
Agora, multiplicamos por 3:
3(2x^2 + 3x + 1) = 6x^2 + 9x + 3

Passo 3

Agora vamos expandir o lado direito da inequação:
(2x -1)(3x +2) - (4 -5x)
Primeiro, expandimos o produto:
(2x -1)(3x +2) = 2x cdot 3x + 2x cdot 2 + (-1) cdot 3x + (-1) cdot 2 = 6x^2 + 4x -3x -2 = 6x^2 + x -2
Agora, subtraímos (4 -5x):
6x^2 + x -2 -4 +5x = 6x^2 + (x +5x) + (-2 -4) = 6x^2 +6x -6

Passo 4

Agora que expandimos ambos os lados, vamos reescrever a inequação com as expressões simplificadas:
6x^2 + 9x + 3 <= 6x^2 +6x -6
Para resolver a inequação, vamos trazer todos os termos para um lado. Subtraímos 6x^2 +6x -6 de ambos os lados:
6x^2 +9x +3 -6x^2 -6x +6 <= 0
Simplificando os termos semelhantes:
(6x^2 -6x^2) + (9x -6x) + (3 +6) = 0x^2 +3x +9
Então, a inequação fica:
3x +9 <= 0

Passo 5

Agora, vamos resolver a inequação linear 3x +9 <= 0.
Subtraímos 9 de ambos os lados:
3x <= -9
Em seguida, dividimos ambos os lados por 3:
x <= -3

Resposta

A solução da inequação é todo número real menor ou igual a -3. Ou seja:
x <= -3

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