Utilize a Regra da Cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t.
  1. z=x^2+x y+y^2, x=s+t, y=s t

Passo 1

O enunciado nos dá
z = x^2 + x,y + y^2,
com as parametrizações
x = s + t, y = s,t
O conteúdo é derivadas parciais e Regra da Cadeia. Para achar partial zpartial s e partial zpartial t vamos:
  1. calcular partial zpartial x e partial zpartial y;
  2. calcular partial xpartial s,partial ypartial s e partial xpartial t,partial ypartial t;
  3. aplicar a Regra da Cadeia.

Passo 2

Derivando z em relação a x e y, tratando x,y como variáveis independentes,
partial zpartial x = 2x + y, partial zpartial y = x + 2y

Passo 3

Derivando as parametrizações,
partial xpartial s = partial (s+t)partial s =1, partial ypartial s = partial (s,t)partial s =t

Passo 4

Pela Regra da Cadeia,
partial zpartial s = partial zpartial x,partial xpartial s + partial zpartial y,partial ypartial s
Substituindo os resultados e as expressões de x e y:
partial zpartial s = (2x+y)cdot1 ;+;(x+2y)cdot t = 2(s+t) + (s,t) ;+;l((s+t)+2,s,tr),t
Simplificando,
partial zpartial s = 2s + 2t + s,t + s,t + t^2 + 2,s,t^2 = 2s + 2t + 2,s,t + t^2 + 2,s,t^2

Passo 5

Agora as derivadas em relação a t:
partial xpartial t = partial (s+t)partial t =1, partial ypartial t = partial (s,t)partial t =s

Passo 6

Aplicando a Regra da Cadeia para partial zpartial t:
partial zpartial t = partial zpartial x,partial xpartial t + partial zpartial y,partial ypartial t = (2x+y)cdot1 + (x+2y)cdot s
Substituindo x=s+t e y=s,t:
partial zpartial t = 2(s+t) + s,t + l((s+t)+2,s,tr),s = 2s + 2t + s,t + s^2 + s,t + 2,s^2t = 2s + 2t + 2,s,t + s^2 + 2,s^2t

Resposta

partial zpartial s = 2s + 2t + 2,s,t + t^2 + 2,s,t^2, partial zpartial t = 2s + 2t + 2,s,t + s^2 + 2,s^2t

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