Questão 4 [25 pontos] Calcule o fluxo \varphi=\iint_{S} F \cdot n d s, onde F=\frac{\vec{r}}{r^{3}} e S é o parabolóide z=36-9 x^{2}-4 y^{2}, com z \geq 0 e normal n \cdot k>0.
(Lembrete) \vec{r}=(x, y, z) \Rightarrow r=\|\vec{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
Solucão
com a normal apontando para cima (n\cdot k>0).
O conteúdo é integral de superfície e podemos usar o Teorema da Divergência numa superfície fechada que contenha S.
Passo 2
Considere a região V limitada acima por S e abaixo pelo disco
D:\;z=0,\quad 9x^2+4y^2\le36,
orientando a superfície fechada \partial V=S\cup D com a normal para fora de V.
No paraboloide a normal tem componente +k, e no disco a normal para fora de V é -k.
Como
\nabla\cdot F =\nabla\cdot\Bigl(\tfrac{x}{r^3},\tfrac{y}{r^3},\tfrac{z}{r^3}\Bigr)=0 \quad\text{para }r\neq0
e o único ponto singular (r=0) está sobre o disco em z=0 (não no interior de V), vale o Teorema da Divergência: