Questão 4 [25 pontos] Calcule o fluxo \varphi=\iint_{S} F \cdot n d s, onde F=\frac{\vec{r}}{r^{3}} e S é o parabolóide z=36-9 x^{2}-4 y^{2}, com z \geq 0 e normal n \cdot k>0.
(Lembrete) \vec{r}=(x, y, z) \Rightarrow r=\|\vec{r}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
Solucão

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\varphi=\iint_{S}F\cdot n\,dS
onde
F(x,y,z)=\frac{\vec r}{r^3} \quad,\quad \vec r=(x,y,z) \quad,\quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},
e S é o paraboloide
z=36-9x^2-4y^2,\quad z\ge0,
com a normal apontando para cima ( n\cdot k>0).
O conteúdo é integral de superfície e podemos usar o Teorema da Divergência numa superfície fechada que contenha S.

Passo 2

Considere a região V limitada acima por S e abaixo pelo disco
D:\;z=0,\quad 9x^2+4y^2\le36,
orientando a superfície fechada \partial V=S\cup D com a normal para fora de V.
No paraboloide a normal tem componente +k, e no disco a normal para fora de V é -k.
Como
\nabla\cdot F =\nabla\cdot\Bigl(\tfrac{x}{r^3},\tfrac{y}{r^3},\tfrac{z}{r^3}\Bigr)=0 \quad\text{para }r\neq0
e o único ponto singular ( r=0) está sobre o disco em z=0 (não no interior de V), vale o Teorema da Divergência:
\iint_{\partial V}F\cdot n\,dS =\iiint_{V}(\nabla\cdot F)\,dV =0.

Passo 3

Escrevemos
\iint_{\partial V}F\cdot n\,dS =\iint_{S}F\cdot n\,dS\;+\;\iint_{D}F\cdot n\,dS =\varphi+\Phi_D.
No disco D, temos z=0 e normal n=-k, logo
F\bigl|_{D}=\frac{(x,y,0)}{(x^2+y^2)^{3/2}} \quad\implies\quad F\cdot n=(-k)\cdot\frac{(x,y,0)}{(x^2+y^2)^{3/2}}=0.
Portanto
\Phi_D=\iint_{D}0\,dS=0.

Passo 4

Como \iint_{\partial V}F\cdot n\,dS=0 e \Phi_D=0, segue
\varphi=\iint_{S}F\cdot n\,dS =-\Phi_D=0.

Resposta

\displaystyle 0

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