S-3.49 (Esse é um problema proposto no século 16) Um total de 41 pessoas entre homens, mulheres e crianças foram a um banquete e juntos gastaram 40 patacas. Cada homem pagou 4 patacas, cada mulher 3 patacas e cada criança um terço de pataca. Quantos homens, quantas mulheres e quantas crianças havia no banquete?

Passo 1

O enunciado diz que foram ao banquete 41 pessoas, entre homens, mulheres e crianças, e juntas pagaram 40 patacas. Cada homem paga 4 patacas, cada mulher 3 patacas e cada criança tfrac13 de pataca. O conteúdo é resolução de um sistema diofantino linear em três variáveis.

Passo 2

Definimos as incógnitas:
H = número de homens, M = número de mulheres, C = número de crianças úúúç
Então temos o sistema
H + M + C = 41, 4H + 3M + tfrac13C = 40

Passo 3

Para eliminar a fração, multiplicamos a segunda equação por 3:
12H + 9M + C = 120
Mantemos a primeira equação,
H + M + C = 41

Passo 4

Subtraindo a primeira da segunda, cancelamos C:
(12H + 9M + C) - (H + M + C) = 120 - 41 ;Longrightarrow; 11H + 8M = 79
Agora resolvemos 11H + 8M = 79 em inteiros não-negativos. Tomando módulo 8:
11H equiv 79 pmod8 ;Longrightarrow; 3H equiv 7 pmod8 ;Longrightarrow; H equiv 5 pmod8
Logo a menor solução não-negativa é H=5. Substituindo em 11H+8M=79:
11cdot5 + 8M = 79 ;Longrightarrow; 55 + 8M = 79 ;Longrightarrow; 8M = 24 ;Longrightarrow; M = 3
Por fim, de H+M+C=41 vem
C = 41 - 5 - 3 = 33

Passo 5

Conferimos: 5 homens pagam 5cdot4=20 patacas, 3 mulheres pagam 3cdot3=9 patacas, 33 crianças pagam 33cdottfrac13=11 patacas. Total 20+9+11=40.

Resposta

5 homens, 3 mulheres e 33 crianças.

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