Encontre a transformada de Laplace das funções.
f(t)=t e^a t cos b t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t,e^a tcos(b t). O conteúdo principal aqui é usar a propriedade
Lt,g(t)(s) = -ddsl[Lg(t)(s)r]
Então, vamos primeiro achar G(s)=Le^a tcos(b t)(s) e depois aplicar essa propriedade.

Passo 2

Calcular G(s)=Le^a tcos(b t)(s). Sabemos que, em geral,
Le^a tcos(b t)(s) =integral0^inftye^-s te^a tcos(b t),dt =s - a(s - a)^2 + b^2
Logo,
G(s)=s - a(s - a)^2 + b^2

Passo 3

Aplicar a propriedade de multiplicação por t. Ou seja,
Lt,e^a tcos(b t)(s) =-ddsgl[s - a(s - a)^2 + b^2gr]
Definindo u = s - a, podemos reescrever
G(s)=uu^2 + b^2

Passo 4

Derivar G(s) em relação a s. Como du/ds=1, temos
ddsl(uu^2+b^2r) =(1)(u^2+b^2) - u,(2u)(u^2+b^2)^2 =u^2+b^2-2u^2(u^2+b^2)^2 =b^2-u^2(u^2+b^2)^2
Portanto,
-ddsG(s) =-b^2-u^2(u^2+b^2)^2 =u^2-b^2(u^2+b^2)^2

Passo 5

Voltar à variável s substituindo u = s - a. Assim,
Lt,e^a tcos(b t)(s) =(s - a)^2 - b^2l((s - a)^2 + b^2r)^2

Resposta

boxedLt,e^a tcos(b t)(s) =(s - a)^2 - b^2l((s - a)^2 + b^2r)^2

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