Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite nāo existe.
(b) lim (x, y, z) (0,0,0) 7 x^2 y zx^2+10 y^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite de uma função de três variáveis quando (x,y,z)to(0,0,0):
7x^2yzx^2 + 10y^2 + z^2
O conteúdo envolvido é limite de função de várias variáveis e vamos usar o teorema do aperto (squeeze theorem) para mostrar que o limite é zero.

Passo 2

Definimos uma quantidade auxiliar para simplificar as estimativas:
r^2 = x^2 + 10y^2 + z^2
Note que r>=0 e que rto0 se e só se (x,y,z)to(0,0,0).

Passo 3

Agora usamos desigualdades para relacionar |x|,|y|,|z| a r:
|x| <= r, |y| <= rraiz10, |z| <= r
Então o numerador satisfaz:
|7x^2yz| <= 7|x|^2,|y|,|z| <= 7,r^2cdotrraiz10cdot r = 7raiz10,r^4
E o denominador é exatamente r^2.

Passo 4

Logo o valor absoluto da função fica limitado por
|7x^2yzx^2 + 10y^2 + z^2| <= 7raiz10,r^4r^2 = 7raiz10,r^2
Como rto0 implica r^2to0, o lado direito tende a zero. Pelo teorema do aperto, o limite da função também é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados