4a) Calcule lim x +infty[log (x+1)-log x]

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto+inftyl[log(x+1)-log xr]
O conteúdo é limites de funções logarítmicas. Vamos usar a propriedade de logaritmos que transforma diferença em quociente e, em seguida, a continuidade de log.

Passo 2

Usando a identidade
log a - log b = log!l(tfracabr),
temos
log(x+1)-log x = log!l(tfracx+1xr)

Passo 3

Simplificando o quociente dentro do logaritmo,
tfracx+1x = 1 + tfrac1x

Passo 4

Quando xto+infty, o termo tfrac1xto 0, logo
1 + tfrac1x ;longrightarrow; 1

Passo 5

Pela continuidade do logaritmo,
limxto+inftylog!l(1 + tfrac1xr) = log(1) = 0

Resposta

0

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