1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(g) se uma seqüência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero;

Passo 1

O enunciado pergunta se é verdadeiro que “se uma sequência convergente tem infinitos termos iguais a zero, então o seu limite é zero”. Aqui o conteúdo é convergência de sequências e vamos usar a definição de limite para provar o que pedem.

Passo 2

Lembrando a definição de convergência: dizemos que a sequência (an) converge para L se, para todo varepsilon>0, existe N tal que, para todo n>N, vale
|an - L| < varepsilon

Passo 3

Faça uma prova por contradição. Suponha que (an) converge para algum Lneq 0 e que ainda assim há infinitos n tais que an=0. Escolha
varepsilon = |L|2>0
Pela convergência, existe N tal que, para todo n>N,
|an - L| < |L|2
Isso implica
|an| = |,an - L + L,|>= |L| - |an - L| > |L| - |L|2 = |L|2>0,
ou seja, para n>N nenhum an pode ser zero. Logo, só haveria finitos termos nulos, o que contradiz a hipótese de infinitos zeros. Concluímos que a suposição Lneq0 é impossível, de modo que deve ser L=0.

Resposta

Verdadeiro.

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