1.4A Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
(g) se uma seqüência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero;
(g) se uma seqüência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero;
Passo 1
O enunciado pergunta se é verdadeiro que “se uma sequência convergente tem infinitos termos iguais a zero, então o seu limite é zero”. Aqui o conteúdo é convergência de sequências e vamos usar a definição de limite para provar o que pedem.
Passo 2
Lembrando a definição de convergência: dizemos que a sequência
converge para
se, para todo
, existe
tal que, para todo
, vale
Passo 3
Faça uma prova por contradição. Suponha que
converge para algum
e que ainda assim há infinitos
tais que
. Escolha
Pela convergência, existe
tal que, para todo
,
Isso implica
ou seja, para
nenhum
pode ser zero. Logo, só haveria finitos termos nulos, o que contradiz a hipótese de infinitos zeros. Concluímos que a suposição
é impossível, de modo que deve ser
.
Resposta
Verdadeiro.