4.4A Mostre que os termos trigonométricos sen (n \pi x / T) e \cos (n \pi x / T) são 2 T-periódicos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os termos trigonométricos \sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{T}\bigr) e \cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{T}\bigr)
são periódicos de período 2T. Para isso, vamos usar a definição de função periódica e o fato de que \sin e \cos têm período 2\pi.

Passo 2

Relembre que uma função f é P-periódica se, para todo x,
f(x+P)=f(x).
Queremos verificar essa igualdade para P=2T.

Passo 3

Para \sin, computamos
\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi (x+2T)}{T}\bigr) = \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{T} + 2n\pi\bigr).
Como \sin(\theta+2n\pi)=\sin\theta para todo n\in\mathbb{Z}, segue que
\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi (x+2T)}{T}\bigr) = \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{T}\bigr).

Passo 4

Portanto, \sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{T}\bigr) satisfaz \sin\bigl(\tfrac{n\pi (x+2T)}{T}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{T}\bigr),
isto é, é 2T-periódica.

Passo 5

O mesmo vale para \cos:
\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi (x+2T)}{T}\bigr) = \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{T} + 2n\pi\bigr) = \cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{T}\bigr),
pois \cos(\theta+2n\pi)=\cos\theta. Logo, \cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{T}\bigr) é também 2T-periódica.

Resposta

\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{T}\bigr) e \cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{T}\bigr) são 2T-periódicas.

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