Faça um gráfico para representar cada uma das funções abaixo:
(b) \operatorname{sen}(2 \pi x)

Passo 1

O enunciado pede para desenharmos o gráfico da função
f(x)=\operatorname{sen}\bigl(2\pi x\bigr).
O conteúdo é função periódica do tipo seno e precisamos identificar amplitude, período e os pontos mais importantes de uma oscilação completa.

Passo 2

A amplitude de \operatorname{sen} é 1, logo \max f(x)=1 e \min f(x)=-1.
O período T satisfaz
2\pi\,T = 2\pi \quad\Longrightarrow\quad T=1.
Isto significa que a cada incremento de 1 em x o gráfico se repete.

Passo 3

Para esboçar uma oscilação completa em 0\le x\le1, marcamos os pontos críticos: \,x=0 \Rightarrow f(0)=\operatorname{sen}(0)=0 \,x=\tfrac14 \Rightarrow f\bigl(\tfrac14\bigr)=\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1 \,x=\tfrac12 \Rightarrow f\bigl(\tfrac12\bigr)=\operatorname{sen}(\pi)=0 \,x=\tfrac34 \Rightarrow f\bigl(\tfrac34\bigr)=\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-1 \,x=1 \Rightarrow f(1)=\operatorname{sen}(2\pi)=0

Passo 4

Com esses pontos, desenhe:
– Eixo x de 0 a, digamos, 2 para mostrar duas repetições.
– Eixo y de -1,2 a 1,2.
– Marque e ligue suavemente (0,0)\to(\tfrac14,1)\to(\tfrac12,0)\to(\tfrac34,-1)\to(1,0).
– Repita o mesmo padrão no intervalo [1,2].

Resposta

O gráfico de f(x)=\operatorname{sen}(2\pi x) é uma onda seno de amplitude 1 e período 1, cruzando o eixo x em inteiros e atingindo picos em x=\tfrac14+ k, valendo 1, e vales em x=\tfrac34+ k, valendo -1, para todo k\in\mathbb{Z}.

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