4a Questão (20) Considere o escoamento dado por \vec{V}=K(y \vec{i}-x \vec{j}), sendo K uma constante positiva. (a) O escoamento é permanente? Por quê? (b) O escoamento é incompressivel? Por quê? (c) Sendo o caso, determine a função corrente \psi(x, y). (d) Em seguida, esboce as linhas de corrente e dê uma possível interpretação para o escoamento. (e) Qual é o campo de aceleração desse escoamento?

Passo 1

O enunciado nos dá um escoamento bidimensional
\vec{V}(x,y)=K\bigl(y\,\vec{i}-x\,\vec{j}\bigr),
com K>0, e pede:
(a) verificar se o escoamento é permanente;
(b) verificar se é incompressível;
(c) encontrar a função corrente \psi(x,y);
(d) esboçar linhas de corrente e interpretar o escoamento;
(e) calcular o campo de aceleração \vec{a}.
O conteúdo aqui é cinemática de fluidos: permanência, divergência, função corrente, linhas de corrente e aceleração convectiva.

Passo 2

Para saber se o escoamento é permanente, verificamos se há dependência explícita de tempo. Como
\vec{V}(x,y) não depende de t, temos
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t} = \vec{0},
logo o escoamento é permanente.

Passo 3

Para checar incompressibilidade, calculamos a divergência
\nabla\cdot\vec{V} =\frac{\partial}{\partial x}(K y)+\frac{\partial}{\partial y}(-K x) =0+0=0.
Como \nabla\cdot\vec{V}=0, o escoamento é incompressível.

Passo 4

Em escoamentos incompressíveis bidimensionais podemos definir \psi(x,y) tal que
u=\frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}.
Aqui u=K y e v=-K x. Integramos
\frac{\partial \psi}{\partial y}=K y \;\Longrightarrow\; \psi=\frac{K\,y^2}{2}+f(x).
Como também
-\frac{\partial \psi}{\partial x}=-K x \;\Longrightarrow\; \frac{\partial \psi}{\partial x}=K x \;\Longrightarrow\; f'(x)=K x \;\Longrightarrow\; f(x)=\frac{K\,x^2}{2}+C.
Podemos tomar C=0. Assim, a função corrente é
\psi(x,y)=\frac{K}{2}\bigl(x^2+y^2\bigr).

Passo 5

As linhas de corrente são as curvas \psi(x,y)=\text{const}, ou seja
x^2+y^2=R^2,
círculos de raio R centrados na origem. Isso sugere um escoamento de rotação em corpo rígido em torno da origem (velocidade tangencial proporcional ao raio).

Passo 6

Como o escoamento é permanente, a aceleração total vem só da parte convectiva:
\vec{a}=(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Escrevendo u=K y e v=-K x:
a_x = u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y} =K y\cdot0+(-K x)\cdot K =-K^2 x,
a_y = u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y} =K y\cdot(-K)+(-K x)\cdot0 =-K^2 y.
Logo
\vec{a}(x,y)=-K^2\bigl(x\,\vec{i}+y\,\vec{j}\bigr).

Resposta

(a) Sim, é permanente pois \partial\vec{V}/\partial t=0.
(b) Sim, é incompressível pois \nabla\cdot\vec{V}=0.
(c) \displaystyle \psi(x,y)=\tfrac{K}{2}(x^2+y^2).
(d) Linhas de corrente são círculos x^2+y^2=\text{const}; é um escoamento de rotação sólida em torno da origem.
(e) \displaystyle \vec{a}=-K^2\bigl(x\,\vec{i}+y\,\vec{j}\bigr).

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