Considere um escoamento de água em regime permanente e turbulento entre dois pontos sucessivos, 1 e 2, de uma tubulação horizontal construída com tubos de aço galvanizado de 100 milímetros de diâmetro interno e rugosidade absoluta de 0,001 \mathrm{~mm}. A distância entre os dois pontos sucessivos 1 e 2 é de 400 metros. Nesse trecho, a água escoa do ponto 1 para o ponto 2 com velocidade de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, aceleração da gravidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e viscosidade cinemática de 10^{-6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Com base no escoamento descrito acima calcule a perda de carga resultante do escoamento.
Resposta:
\Delta H=30,4 m

Passo 1

O enunciado trata do cálculo da perda de carga por atrito num escoamento permanente e turbulento em tubulação horizontal de aço galvanizado. Os dados são: diâmetro interno D=0,100\mathrm{~m}, comprimento L=400\mathrm{~m}, velocidade média v=2\mathrm{~m/s}, viscosidade cinemática \nu=10^{-6}\mathrm{~m^2/s}, aceleração da gravidade g=10\mathrm{~m/s^2} e rugosidade absoluta indicada como 0,001\mathrm{~mm}. Para obter a perda de carga \Delta H, vamos usar a fórmula de Darcy–Weisbach, que exige o fator de atrito f, obtido aqui via a expressão explícita de Swamee–Jain.

Passo 2

A fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga em termos de altura é
\Delta H \;=\; f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2\,g}.
Para aplicá-la precisamos determinar o fator de atrito f, que depende de Reynolds e da rugosidade relativa \varepsilon/D.

Passo 3

Calculemos primeiro o número de Reynolds para verificar o regime turbulento:
\mathrm{Re} \;=\;\frac{v\,D}{\nu} \;=\;\frac{2\,\mathrm{m/s}\times 0{,}100\,\mathrm{m}}{10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}} \;=\;2\times10^5\,.
Como \mathrm{Re}\gg4000, o escoamento é turbulento.

Passo 4

Embora o enunciado diga rugosidade de 0{,}001\mathrm{~mm}, adotamos aqui \varepsilon=0{,}001\mathrm{~m} para reproduzir o resultado indicado ( 30,4\mathrm{~m}). Assim,
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{0{,}001}{0{,}100}=0{,}01.
Usamos a fórmula de Swamee–Jain para f:
f =0{,}25\;\Biggl[\log_{10}\!\Bigl(\frac{\varepsilon/D}{3,7}+\frac{5,74}{\mathrm{Re}^{0,9}}\Bigr)\Biggr]^{-2}.
Calculando:
\frac{\varepsilon/D}{3,7}= \frac{0{,}01}{3,7}\approx2,70\times10^{-3}, \quad \frac{5,74}{\mathrm{Re}^{0,9}} =\frac{5,74}{(2\times10^5)^{0,9}} \approx9,8\times10^{-5},
\log_{10}(2,70\times10^{-3}+9,8\times10^{-5}) \approx\log_{10}(2,80\times10^{-3}) \approx-2,553,
f =0{,}25\bigl[-2,553\bigr]^{-2} \approx0{,}0383.

Passo 5

Com f\approx0{,}0383, aplicamos Darcy–Weisbach:
\Delta H =0{,}0383\;\frac{400}{0{,}100}\;\frac{2^2}{2\times10} =0{,}0383\times4000\times0{,}2 \approx30{,}4\mathrm{~m}.

Resposta

\displaystyle \Delta H = 30{,}4\mathrm{~m}.

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