(2,0) Um fluido ideal de densidade \rho=1500 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} escoa dentro de uma tubulação cilíndrica de diâmetro 0,1 \mathrm{~m}. Esta tubulação faz uma curva horizontal de raio 4,0 \mathrm{~m}. Determine:
a) (0,5) A vazão mássica do escoamento.
b) (1,5) O gradiente de pressão do escoamento na curva. A pressão é maior na parte interna ou externa da curva?

Passo 1

O enunciado dá um fluido ideal com densidade \rho = 1500\\ \mathrm{kg/m^3} escoando numa tubulação de diâmetro D=0,10\\ \mathrm{m} que faz uma curva de raio R=4,0\\ \mathrm{m}. Preciso determinar:
a) a vazão mássica \dot m, que exige conhecer a velocidade média v do escoamento para usar
\dot m = \rho\,A\,v,
onde A=\pi D^2/4.
b) o gradiente de pressão na curva, que em escoamento curvo estacionário se relaciona com a aceleração centrípeta v^2/R via
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} = \rho\,\frac{v^2}{R}.
Percebe-se que falta o valor de v.

Passo 2

Para a vazão mássica usamos
\dot m = \rho \, A \, v \quad\text{com}\quad A = \frac{\pi D^2}{4}.
Sem v numérico, só podemos escrever
\dot m = 1500\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\;\times\;\frac{\pi (0,10\;\mathrm{m})^2}{4}\;\times\;v = 1500\,\frac{\pi\,(0{,}10)^2}{4}\;v.

Passo 3

O enunciado não fornece v (ou vazão volumétrica), logo não é possível calcular \dot m numericamente. A expressão em função de v é a que ficou acima.

Passo 4

Para o gradiente de pressão radial na curva, aplicamos o equilíbrio de forças centrípetas:
-\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r}\;A = \rho\,A\,\frac{v^2}{R} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} = -\,\rho\,\frac{v^2}{R}.
O sinal negativo indica que a pressão decresce ao aumentar r, ou seja, a pressão é maior na parte interna da curva ( r menor) e menor na parte externa ( r maior).

Resposta

Não é possível obter valores numéricos porque falta o valor da velocidade v. Em forma geral:
a) \displaystyle \dot m = 1500\,\frac{\pi\,(0{,}10)^2}{4}\;v.
b) \displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} = -\,1500\,\frac{v^2}{4{,}0}, e a pressão é maior na parte interna da curva.

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