5^{2} Questão (20) A diferença de pressão total \Delta p desenvolvida por um ventilador centrífugo é considerada função da vazão volumétrica Q, do diâmetro do rotor D, da velocidade angular de rotação \Omega e da massa específica \rho. Determine metodicamente os parâmetros adimensionais convenientes para esse problema. Sugestão: escolha \Omega, \rho e D como variáveis repetitivas (grandezas de escala). * usar o método do Teorema “pi” (\pi).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os parâmetros adimensionais de \Delta p em função de Q, D, \Omega e \rho usando o Teorema \pi. Vamos usar análise dimensional, escolhendo como variáveis repetitivas \Omega, \rho e D.

Passo 2

Listamos as variáveis envolvidas e suas dimensões no sistema MLT:
\bullet \Delta p: [M\,L^{-1}\,T^{-2}] \bullet Q: [L^{3}\,T^{-1}] \bullet D: [L] \bullet \Omega: [T^{-1}] \bullet \rho: [M\,L^{-3}]

Passo 3

Pelo Teorema de Buckingham, o número de \pi-grupos é
p = n - k = 5 - 3 = 2.
Escolhemos como repetitivas D, \Omega e \rho. Logo teremos duas grandezas adimensionais \Pi_1 e \Pi_2.

Passo 4

Construímos \Pi_1 envolvendo \Delta p:
\Pi_1 = \Delta p \;D^{a}\,\Omega^{b}\,\rho^{c}.
As dimensões são
[M^{1}L^{-1}T^{-2}]\;[L]^{a}\,[T^{-1}]^{b}\,[M\,L^{-3}]^{c} = M^{1+c}\,L^{-1 + a -3c}\,T^{-2 - b}.
Impondo que exponents de M,L,T sejam zero, obtemos o sistema
1 + c = 0,\quad -1 + a -3c = 0,\quad -2 - b = 0.

Passo 5

Resolvendo
c = -1,\quad b = -2,\quad a = -2,
vem
\Pi_1 = \Delta p\;D^{-2}\,\Omega^{-2}\,\rho^{-1} = \frac{\Delta p}{\rho\,\Omega^{2}\,D^{2}}.

Passo 6

Construímos \Pi_2 envolvendo Q:
\Pi_2 = Q\;D^{a}\,\Omega^{b}\,\rho^{c},
com dimensões
[L^{3}T^{-1}]\;[L]^{a}\,[T^{-1}]^{b}\,[M\,L^{-3}]^{c} = M^{c}\,L^{3 + a -3c}\,T^{-1 - b},
e impomos
c = 0,\quad 3 + a -3c = 0,\quad -1 - b = 0.

Passo 7

Resolvendo
c = 0,\quad b = -1,\quad a = -3,
temos
\Pi_2 = Q\;D^{-3}\,\Omega^{-1} = \frac{Q}{D^{3}\,\Omega}.

Resposta

\displaystyle \Pi_{1} = \frac{\Delta p}{\rho\,\Omega^{2}\,D^{2}} \displaystyle \Pi_{2} = \frac{Q}{\Omega\,D^{3}}

Exercícios relacionados