4a Questão ( 25 pontos):
Calcule a massa do sólido x^2+y^2+z^2 <= 1, z >= 0, de densidade de massa de<a(x, y, z)= raizx^2+y^2+z^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a massa de um sólido definido pela inequação x^2 + y^2 + z^2 <= 1 e z >= 0 . Esse sólido é basicamente a metade superior de uma esfera com raio 1 (porque z >= 0 significa que estamos considerando apenas a parte acima do plano xy).
A densidade desse sólido é dada por de<a(x, y, z) = raizx^2 + y^2 + z^2 . Para encontrar a massa, vamos precisar usar integração em coordenadas esféricas, já que a forma do sólido e a função de densidade se adaptam bem a esse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a massa M de um objeto com densidade variável pode ser calculada através da integral tripla da densidade sobre o volume do sólido:
M = integral triplalimitsV de<a(x, y, z) , dV
No nosso caso, de<a(x, y, z) = raizx^2 + y^2 + z^2 . Como estamos lidando com uma esfera, é mais fácil usar coordenadas esféricas para simplificar a integração.

Passo 3

Nas coordenadas esféricas, as coordenadas cartesianas [(x, y, z)) são expressas em termos de (raio), (ângulo polar) e (ângulo azimutal):
Além disso, o elemento de volume (dV] em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. Como nosso sólido é a metade superior da esfera de raio 1:
  • rho varia de 0 a 1.
  • theta varia de 0 a pi2 (já que z >= 0 ).
  • phi varia de 0 a 2pi (gira em torno de todo o círculo).

Passo 5

Agora, substituímos a densidade e o elemento de volume na integral:
M = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^1 rho cdot rho^2 sintheta , drho , dtheta , dphi
Aqui, de<a(x, y, z) = rho , porque raizx^2 + y^2 + z^2 = rho .

Passo 6

Simplificamos a expressão multiplicando rho cdot rho^2 :
M = integral0^2pi integral0^pi2 integral0^1 rho^3 sintheta , drho , dtheta , dphi

Passo 7

Vamos integrar em relação a rho primeiro:
integral0^1 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^1 = 14 - 0 = 14

Passo 8

Em seguida, integramos em relação a theta :
integral0^pi2 sintheta , dtheta = [ -costheta ]0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = 0 + 1 = 1

Passo 9

Por último, integramos em relação a phi :
integral0^2pi dphi = 2pi

Resposta

Multiplicando todos os resultados das integrais:
M = 14 times 1 times 2pi = pi2
Portanto, a massa do sólido é pi2 .

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