4a Questão ( 25 pontos):
Calcule a massa do sólido , de densidade de massa .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a massa de um sólido definido pela inequação e . Esse sólido é basicamente a metade superior de uma esfera com raio 1 (porque significa que estamos considerando apenas a parte acima do plano xy).
A densidade desse sólido é dada por . Para encontrar a massa, vamos precisar usar integração em coordenadas esféricas, já que a forma do sólido e a função de densidade se adaptam bem a esse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a massa de um objeto com densidade variável pode ser calculada através da integral tripla da densidade sobre o volume do sólido:
No nosso caso, . Como estamos lidando com uma esfera, é mais fácil usar coordenadas esféricas para simplificar a integração.
Passo 3
Nas coordenadas esféricas, as coordenadas cartesianas [(x, y, z)) são expressas em termos de (raio), (ângulo polar) e (ângulo azimutal):
Além disso, o elemento de volume (dV] em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. Como nosso sólido é a metade superior da esfera de raio 1:
rho varia de 0 a 1.
theta varia de 0 a pi2 (já que z >= 0 ).
phi varia de 0 a 2pi (gira em torno de todo o círculo).
Passo 5
Agora, substituímos a densidade e o elemento de volume na integral: