Questão ( 25 pontos):
Calcule o volume do sólido
limitado pelas superfícies
,
e
.
Calcule o volume do sólido
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular o volume de um sólido limitado pelas superfícies
,
e
. Isso envolve conhecimentos de geometria no espaço tridimensional e integração para encontrar volumes. Vamos usar coordenadas cilíndricas porque elas facilitam muito o cálculo quando temos simetria circular, como nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido:
- Superfície inferior:
é uma parábola que abre para cima. - Superfície superior:
é um plano horizontal. - Limite lateral:
é um círculo de raio 1 no plano .
Como estamos lidando com simetria circular, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
Nesse sistema,
.
Passo 3
Expressando as superfícies em coordenadas cilíndricas:
- Superfície inferior:
- Superfície superior:
- Limite lateral:
(pois se torna )
Agora, queremos encontrar o volume entre
e
, para
variando de 0 a 1 e
de 0 a
.
Passo 4
Sabemos que o volume em coordenadas cilíndricas é dado pela integral tripla:
Aqui, o
extra vem do jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, o volume fica:
Passo 6
Agora, simplificamos a expressão dentro das integrais:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar em relação a
:
Portanto, a integral agora é:
Passo 8
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.