3^ a Questão ( 25 pontos):
Calcule o volume do sólido S limitado pelas superfícies z=2(x^2+y^2), z=4 e x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular o volume de um sólido limitado pelas superfícies z = 2(x^2 + y^2) , z = 4 e x^2 + y^2 = 1 . Isso envolve conhecimentos de geometria no espaço tridimensional e integração para encontrar volumes. Vamos usar coordenadas cilíndricas porque elas facilitam muito o cálculo quando temos simetria circular, como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido:
  1. Superfície inferior: z = 2(x^2 + y^2) é uma parábola que abre para cima.
  2. Superfície superior: z = 4 é um plano horizontal.
  3. Limite lateral: x^2 + y^2 = 1 é um círculo de raio 1 no plano z = 0 .
Como estamos lidando com simetria circular, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
  • x = rcostheta
  • y = rsintheta
  • z = z
Nesse sistema, x^2 + y^2 = r^2 .

Passo 3

Expressando as superfícies em coordenadas cilíndricas:
  1. Superfície inferior: z = 2r^2
  2. Superfície superior: z = 4
  3. Limite lateral: r = 1 (pois x^2 + y^2 = 1 se torna r = 1 )
Agora, queremos encontrar o volume entre z = 2r^2 e z = 4 , para r variando de 0 a 1 e theta de 0 a 2pi .

Passo 4

Sabemos que o volume em coordenadas cilíndricas é dado pela integral tripla:
V = integraltheta=0^2pi integralr=0^1 integralz=2r^2^4 r , dz , dr , dtheta
Aqui, o r extra vem do jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a z :
integralz=2r^2^4 dz = 4 - 2r^2
Então, o volume fica:
V = integral0^2pi integral0^1 (4 - 2r^2) cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão dentro das integrais:
(4 - 2r^2) cdot r = 4r - 2r^3
Então, a integral fica:
V = integral0^2pi integral0^1 (4r - 2r^3) , dr , dtheta

Passo 7

Vamos integrar em relação a r :
integral0^1 (4r - 2r^3) , dr = [ 2r^2 - 24r^4 ]0^1 = ( 2(1)^2 - 12(1)^4 ) - 0 = 2 - 12 = 32
Portanto, a integral agora é:
V = integral0^2pi 32 , dtheta

Passo 8

Por fim, integramos em relação a theta :
integral0^2pi 32 , dtheta = 32 cdot 2pi = 3pi

Resposta

O volume do sólido S é 3pi unidades cúbicas.

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