6ª QUESTÃO

Dadas as funções:
f(x)=\frac{1}{2 x+3}, g(x)=\frac{1-x-x^{2}}{2 x^{2}-7} e h(x)=\frac{\sqrt{x}+x^{2}}{2 x-x^{2}}.
Analise as afirmativas seguintes.
I. \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2 x+3}\right)=0
II. \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1-x-x^{2}}{2 x^{2}-7}=-\frac{1}{2}
III. \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}+x^{2}}{2 x-x^{2}}=-1
É correto o que se afirma em:

ALTERNATIVAS

I apenas.
II apenas.
I e II apenas.
II e III apenas.
I, II e III.

Passo 1

O enunciado dá três funções
f(x)=\frac{1}{2x+3},\quad g(x)=\frac{1 - x - x^2}{2x^2 - 7},\quad h(x)=\frac{\sqrt{x} + x^2}{2x - x^2}
e pede os limites em x\to\infty ou x\to -\infty. Vamos usar a regra geral de que, para funções racionais (ou dominadas por termos de maior grau), o comportamento em infinito é dado pelos coeficientes dos termos de maior grau; no caso de raízes, convertemos para potências fracionárias e aplicamos o mesmo método.

Passo 2

Calculamos \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x). Como
f(x)=\frac{1}{2x+3}
e o denominador cresce sem limite em x, temos
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x+3}=0.

Passo 3

Calculamos \displaystyle\lim_{x\to -\infty}g(x). Observe que tanto numerador quanto denominador são polinômios de grau 2. Divide-se tudo por x^2:
\frac{1 - x - x^2}{2x^2 - 7} =\frac{x^2\Bigl(x^{-2}-x^{-1}-1\Bigr)}{x^2\Bigl(2 -7x^{-2}\Bigr)} =\frac{-1 + o(1)}{2 + o(1)} \quad\bigl(x\to -\infty\bigr),
logo
\lim_{x\to -\infty}g(x)=-\frac{1}{2}.

Passo 4

Calculamos \displaystyle\lim_{x\to\infty}h(x). Primeiro note que \sqrt{x}=x^{1/2}, então o numerador é dominado por x^2 e o denominador por -x^2. Dividindo por x^2:
\frac{\sqrt{x}+x^2}{2x - x^2} =\frac{x^2\bigl(x^{-3/2}+1\bigr)}{x^2\bigl(2x^{-1}-1\bigr)} =\frac{1+o(1)}{-1+o(1)} \quad\bigl(x\to\infty\bigr),
logo
\lim_{x\to\infty}h(x)=-1.

Passo 5

Concluindo:
I é verdadeira ( 0),
II é verdadeira ( -\tfrac12) e
III é verdadeira ( -1).

Resposta

I, II e III.

Exercícios relacionados