Os componentes do vetor velocidade de um escoamento incompressível e que ocorre em regime permanente são definidos por
\begin{gathered} u=x^{2}+y^{2}+z^{2} \\\ v=x y+y z+z \\\ w=? \end{gathered}
Determine a forma do componente da velocidade na direção z , w, que satisfaça a equação da continuidade.
\mathrm{R}: w=-3 x z-\frac{\mathrm{z}^{2}}{2}+f(x, y)

Passo 1

O enunciado dá as componentes u e v de um campo de velocidade e pede a componente w tal que a equação da continuidade seja satisfeita. Informações fornecidas:
u = x^{2}+y^{2}+z^{2}
v = x y + y z + z
Pergunta: determinar a forma de w(x,y,z) que satisfaça a equação da continuidade para escoamento incompressível e em regime permanente.

Passo 2

Escrevemos a equação da continuidade para um escoamento incompressível e permanente em coordenadas cartesianas. A equação é a condição de divergência nula:
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0.
Explicação rápida: cada derivada parcial mede a taxa de variação da respectiva componente de velocidade ao longo da sua coordenada; a soma sendo zero garante conservação de massa local (não há compressão).

Passo 3

Calculemos \dfrac{\partial u}{\partial x}. Temos u=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Ao derivar em relação a x, y e z são tratados como constantes, portanto
\frac{\partial u}{\partial x}=2x.
Explicando: a derivada de x^{2} é 2x; as derivadas de y^{2} e z^{2} em relação a x são zero.

Passo 4

Calculemos \dfrac{\partial v}{\partial y}. Com v=xy+yz+z, derivando em relação a y (tendo x e z como constantes) obtemos:
\frac{\partial v}{\partial y}=x+z.
Detalhe: derivada de xy em relação a y é x; de yz é z; de z é 0.

Passo 5

Substituímos esses resultados na equação da continuidade para isolar \dfrac{\partial w}{\partial z}:
\frac{\partial w}{\partial z} = -\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right) = -\bigl(2x + (x+z)\bigr).
Fazendo as somas internas:
\frac{\partial w}{\partial z} = -(3x+z) = -3x - z.

Passo 6

Agora integramos \dfrac{\partial w}{\partial z} em relação a z para obter w. Ao integrar, x e y são tratados como constantes, logo:
w(x,y,z)=\int\left(-3x - z\right)\,dz.
Integração passo a passo: \int -3x\,dz = -3x z (pois -3x é constante em relação a z) e \int -z\,dz = -\dfrac{z^{2}}{2}. Portanto
w(x,y,z) = -3x z - \frac{z^{2}}{2} + C(x,y),
onde C(x,y) é a “constante” de integração que pode depender de x e y.

Passo 7

Expliquei por que aparece C(x,y): quando você integra uma derivada parcial em relação a z, o termo de integração pode ser qualquer função que não dependa de z (pode depender de x e y). Em problemas práticos, essa função C(x,y) é determinada por condições de contorno (por exemplo, valor de w conhecido em uma superfície z= constante).

Passo 8

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se houver condição de contorno w(x,y,0)=0, então C(x,y)=0 e
w(x,y,z) = -3x z - \frac{z^{2}}{2}.
  • Se w(x,y,0)=h(x,y), então C(x,y)=h(x,y) e
w(x,y,z) = -3x z - \frac{z^{2}}{2} + h(x,y).
Dica para prova: calcule sempre as derivadas parciais com variáveis independentes mantidas como constantes; ao integrar em uma variável, inclua a função arbitrária das demais variáveis como a “constante” de integração.

Resposta

w(x,y,z) = -3x z - \frac{z^{2}}{2} + f(x,y)

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