Os componentes do vetor velocidade de um escoamento incompressível e que ocorre em regime permanente são definidos por
Determine a forma do componente da velocidade na direção z , w, que satisfaça a equação da continuidade.
Passo 1
O enunciado dá as componentes
e
de um campo de velocidade e pede a componente
tal que a equação da continuidade seja satisfeita. Informações fornecidas:
Pergunta: determinar a forma de
que satisfaça a equação da continuidade para escoamento incompressível e em regime permanente.
Passo 2
Escrevemos a equação da continuidade para um escoamento incompressível e permanente em coordenadas cartesianas. A equação é a condição de divergência nula:
Explicação rápida: cada derivada parcial mede a taxa de variação da respectiva componente de velocidade ao longo da sua coordenada; a soma sendo zero garante conservação de massa local (não há compressão).
Passo 3
Calculemos
. Temos
. Ao derivar em relação a
,
e
são tratados como constantes, portanto
Explicando: a derivada de
é
; as derivadas de
e
em relação a
são zero.
Passo 4
Calculemos
. Com
, derivando em relação a
(tendo
e
como constantes) obtemos:
Detalhe: derivada de
em relação a
é
; de
é
; de
é
.
Passo 5
Substituímos esses resultados na equação da continuidade para isolar
:
Fazendo as somas internas:
Passo 6
Agora integramos
em relação a
para obter
. Ao integrar,
e
são tratados como constantes, logo:
Integração passo a passo:
(pois
é constante em relação a
) e
. Portanto
onde
é a “constante” de integração que pode depender de
e
.
Passo 7
Expliquei por que aparece
: quando você integra uma derivada parcial em relação a
, o termo de integração pode ser qualquer função que não dependa de
(pode depender de
e
). Em problemas práticos, essa função
é determinada por condições de contorno (por exemplo, valor de
conhecido em uma superfície
constante).
Passo 8
Exemplos rápidos para fixar:
- Se houver condição de contorno
, então e
- Se
, então e
Dica para prova: calcule sempre as derivadas parciais com variáveis independentes mantidas como constantes; ao integrar em uma variável, inclua a função arbitrária das demais variáveis como a “constante” de integração.