Determine a representação em série de potências das seguintes funções, e identifique os respectivos raios de convergência:
Passo 1
O enunciado pede a representação em série de potências (em torno de
) da função
e seu raio de convergência. O conteúdo aqui é séries de Taylor/Maclaurin e uso de integrais de séries conhecidas.
Passo 2
Sabemos que, para
, vale a série geométrica
O raio de convergência dessa série é
.
Passo 3
Como
podemos usar a série acima e integrar termo a termo para recuperar
. Integramos de
a
:
Como
, concluímos que
Passo 4
Reindexando a soma com
, obtemos
O raio de convergência permanece
, pois resultou da integração de uma série com raio
.