Determine a representação em série de potências das seguintes funções, e identifique os respectivos raios de convergência:
g(x)=\ln (1-x)

Passo 1

O enunciado pede a representação em série de potências (em torno de x=0) da função
g(x)=\ln(1-x)
e seu raio de convergência. O conteúdo aqui é séries de Taylor/Maclaurin e uso de integrais de séries conhecidas.

Passo 2

Sabemos que, para |x|<1, vale a série geométrica
\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n.
O raio de convergência dessa série é R=1.

Passo 3

Como
g'(x)=\frac{d}{dx}\ln(1-x)=-\frac{1}{1-x},
podemos usar a série acima e integrar termo a termo para recuperar g(x). Integramos de 0 a x:
\int_{0}^{x}g'(t)\,dt =\int_{0}^{x}\Bigl(-\sum_{n=0}^\infty t^n\Bigr)dt =-\sum_{n=0}^\infty\int_{0}^{x}t^n\,dt =-\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Como \ln(1-0)=0, concluímos que
\ln(1-x)= -\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1}.

Passo 4

Reindexando a soma com k=n+1, obtemos
\ln(1-x)=-\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}.
O raio de convergência permanece R=1, pois resultou da integração de uma série com raio 1.

Resposta

\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n},\qquad\text{raio de convergência }R=1.ê

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