4a Questão: Verifique se a função f(x, y, z)=cx z+2 y z-x^2raizz+x^2+y^2-3 para(x, y, z) neq(1,1,1) 1, para(x, y, z)=(1,1,1) é continua.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente checar se a função
f(x,y,z)= dfracxz+2yz-x^2raiz,z+x^2+y^2-3,,&se (x,y,z)neq(1,1,1),[6pt] 1,&se (x,y,z)=(1,1,1),
é contínua. Isso é cálculo multivariável: continuidade em ponto e limite de função. A gente vai precisar lembrar a definição de continuidade em várias variáveis e calcular o limite quando (x,y,z)to(1,1,1).]

Passo 2

Definição de continuidade em (1,1,1):
f é contínua ali se, ao chegar em (1,1,1) por qualquer caminho, o valor de f(x,y,z) tende a f(1,1,1). Em fórmulas:
lim(x,y,z)to(1,1,1)f(x,y,z);=;f(1,1,1)=1
Logo temos que estudar o limite da parte racional
L=lim(x,y,z)to(1,1,1)xz+2yz-x^2raiz,z+x^2+y^2-3,

Passo 3

Calcular o limite do numerador:
lim(x,y,z)to(1,1,1)l(xz+2yz-x^2r) =1cdot1+2cdot1cdot1-1^2=1+2-1=2
Aqui usei que polinômios são contínuos e basta substituir.

Passo 4

Calcular o limite do denominador:
lim(x,y,z)to(1,1,1)raiz,z+x^2+y^2-3, =raiz,1+1+1-3,=raiz0=0
Como a raiz existe para valores que façam z+x^2+y^2-3>=0, podemos aproximar de dentro dessa região.

Passo 5

Teoria do quociente: se o numerador tende a um número não-zero (aqui 2) e o denominador tende a zero pela direita, a fração dispara para +infty. Ou seja,
L=20^+=+infty
Isso mostra que o limite não é um valor finito, muito menos igual a 1.

Resposta

A função não é contínua em (1,1,1), porque o limite da parte racional diverge em vez de dar 1.

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