Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico
seja dado por
a) Determine a taxa de variação do potencial em
na direção do vetor
.
b) Ache a direção e o sentido e o valor da taxa de variação máxima de V em
.
b) Ache a direção e o sentido e o valor da taxa de variação máxima de V em
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é calcular variações de um potencial elétrico
a) Queremos a taxa de variação em
na direção do vetor
.
b) Depois, achar a direção, o sentido e o valor da variação máxima ali no mesmo ponto.
Matéria: derivadas parciais, gradiente, derivada direcional e norma de vetores.
b) Depois, achar a direção, o sentido e o valor da variação máxima ali no mesmo ponto.
Matéria: derivadas parciais, gradiente, derivada direcional e norma de vetores.
Passo 2
Primeiro a gente calcula o gradiente
.
– Derivada parcial em :
.
– Em :
.
– Em :
.
Logo
– Derivada parcial em
– Em
– Em
Logo
Passo 3
Agora avalia em
:
– ,
– ,
– ,
– .
Então
–
–
–
–
Então
Passo 4
Para a derivada direcional usamos
sendo
unidade. Aqui
e já tem norma 1. Então
e já tem norma 1. Então
Passo 5
A variação máxima em um ponto ocorre na direção do próprio gradiente
.
– A direção (e sentido) é ao longo de .
– Se quisermos unitário, é
.
– O valor dessa taxa máxima é .
– A direção (e sentido) é ao longo de
– Se quisermos unitário, é
– O valor dessa taxa máxima é
Resposta
a) A taxa de variação em
na direção dada é
.
b) A direção de variação máxima é a do vetor gradiente (unitário:
), e o valor dessa taxa máxima é
.
b) A direção de variação máxima é a do vetor gradiente