3^ a Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por
V(x, y, z)=e^-2 x cos 2 y+ln (z^2)
a) Determine a taxa de variação do potencial em P(0, pi4, 2) na direção do vetor cos (pi6) i+ sen(pi6) j.
b) Ache a direção e o sentido e o valor da taxa de variação máxima de V em (0, pi4, 2).

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é calcular variações de um potencial elétrico
V(x,y,z)=e^-2xcos(2y)+ln(z^2)
a) Queremos a taxa de variação em Pl(0,tfracpi4,2r) na direção do vetor
u=cos!l(tfracpi6r), i+sin!l(tfracpi6r), j.
b) Depois, achar a direção, o sentido e o valor da variação máxima ali no mesmo ponto.
Matéria: derivadas parciais, gradiente, derivada direcional e norma de vetores.

Passo 2

Primeiro a gente calcula o gradiente nabla V=(partialxV,;partialyV,;partialzV).
– Derivada parcial em x:
partialxV=partialxl(e^-2xcos2yr)=-2,e^-2xcos2y.
– Em y:
partialyV=partialyl(e^-2xcos2yr)=-2,e^-2xsin2y.
– Em z:
partialzV=partialzl(ln(z^2)r)=tfrac2z.
Logo
nabla V(x,y,z)=l(-2e^-2xcos2y,,-2e^-2xsin2y,,2/zr)

Passo 3

Agora avalia em Pl(0,tfracpi4,2r):
e^-2cdot0=1,
cos(2cdottfracpi4)=costfracpi2=0,
sin(2cdottfracpi4)=sintfracpi2=1,
2/z=2/2=1.
Então
nabla Vl(0,tfracpi4,2r)=(,0,,-2,,1,)

Passo 4

Para a derivada direcional usamos
D uV=nabla Vcdot u,
sendo u unidade. Aqui
u=(costfracpi6,sintfracpi6,0)=(tfracraiz32,tfrac12,0)
e já tem norma 1. Então
D uV=l(0,-2,1r)cdotl(tfracraiz32,tfrac12,0r) =0cdottfracraiz32+(-2)cdottfrac12+1cdot0=-1

Passo 5

A variação máxima em um ponto ocorre na direção do próprio gradiente nabla V.
– A direção (e sentido) é ao longo de (0,-2,1).
– Se quisermos unitário, é
1raiz5,(0,-2,1)=(0,-2/raiz5,1/raiz5).
– O valor dessa taxa máxima é |nabla V|=raiz0^2+(-2)^2+1^2=raiz5.

Resposta

a) A taxa de variação em P na direção dada é ,D uV=-1.
b) A direção de variação máxima é a do vetor gradiente (0,-2,1) (unitário: (0,-2/raiz5,1/raiz5)), e o valor dessa taxa máxima é raiz5.

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