Exercício 1. Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(e^y-y e^x)+(x e^y-e^x) d yd x=0

Passo 1

Resumindo, temos a equação diferencial
l(e^y-y,e^xr)+l(x,e^y-e^xr)dydx=0
O conteúdo é o de EDOs exatas: vamos testar se é exata conferindo se partial M/partial y=partial N/partial x, onde
M(x,y)=e^y-y,e^x, N(x,y)=x,e^y-e^x

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial yl(e^y-y,e^xr) =e^y-e^x,
partial Npartial x =partialpartial xl(x,e^y-e^xr) =e^y-e^x
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a EDO é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial phi(x,y) tal que phix=M e phiy=N, integramos M em relação a x:
phi(x,y) =integrall(e^y-y,e^xr),dx =x,e^y-y,e^x+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impondo phiy=N, temos
phiy =partialpartial yl(x,e^y-y,e^x+h(y)r) =x,e^y-e^x+h'(y) stackrel!=x,e^y-e^x
Logo h'(y)=0, isto é, h(y) é constante.

Passo 5

Portanto a solução geral fica dada implicitamente por
phi(x,y)=x,e^y-y,e^x=C,
onde C é constante arbitrária.
Não foi dada condição inicial, então esta é a forma final da solução.

Resposta

x,e^y-y,e^x=C

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