3 Em uma simulação de um movimento balístico realizada no software Geogebra, observa-se a trajetória de um ponto material P, que partiu da origem com velocidade inicial de 20 m / s e ângulo de lançamento theta=65^circ. A partir desses dados, considerando g=9,8 m / s^2, obtenha:
(a) a expressão da velocidade em relação ao eixo x;
(b) a expressão da velocidade em relação ao eixo y;
(c) a equação da trajetória;
(d) a expressão para r(t), o vetor de posição do ponto P.
(e) a função distância, ou seja, o módulo de $\vec{r}(t).

Passo 1

O enunciado descreve um movimento balístico de um ponto material P que parte da origem com velocidade inicial v0=20,m/s e ângulo de lançamento theta=65^circ, sob aceleração da gravidade g=9,8,m/s^2. Vamos usar cinemática vetorial, decompor o movimento em eixos x e y e aplicar as fórmulas de velocidade e posição em movimento uniformemente variado.

Passo 2

Na direção x não há aceleração (desprezando resistência do ar), então a velocidade horizontal permanece constante. Usando a decomposição inicial, temos: vx(t)=v0costheta. Substituindo os valores: vx(t)=20cos65^circ, que é constante.

Passo 3

Na direção y há aceleração constante -g. A velocidade vertical varia segundo a equação de MUV: vy(t)=v0sintheta - g,t. Substituindo: vy(t)=20sin65^circ - 9,8,t.

Passo 4

Para achar a equação da trajetória y(x), expressamos o tempo em função de x pela relação x(t)=v0costheta,t, ou seja t=xv0costheta, e substituímos em y(t). O resultado é:
y = xtantheta - g,x^22,v0^2cos^2theta
Substituindo os valores numéricos, fica y = xtan65^circ - dfrac9,8,x^22,(20cos65^circ)^2.

Passo 5

O vetor posição vec r(t) tem componentes x(t)=v0costheta,t e y(t)=v0sintheta,t - tfrac12 g,t^2. Logo:
vec r(t) = l(20cos65^circ,tr),hatimath + l(20sin65^circ,t - tfrac12,9,8,t^2r),hatjmath

Passo 6

A distância do ponto à origem é o módulo de , dado por
Substituindo os componentes, obtemos
.

Resposta

(a) vx(t)=20cos65^circ
(b) vy(t)=20sin65^circ - 9,8,t
(c) y = xtan65^circ - 9,8,x^22,(20cos65^circ)^2
(d) vec r(t) = (20cos65^circ,t),hatimath + l(20sin65^circ,t - tfrac12,9,8,t^2r),hatjmath
(e) |vec r(t)| = raiz(20cos65^circ,t)^2 + l(20sin65^circ,t - tfrac12,9,8,t^2r)^2

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